Номер 29.25, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.25, страница 109.

29.25 a) Вычислите координаты точек пересечения с осью $y$ тех касательных к графику функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$, которые образуют угол $45^\circ$ с осью $x$.

б) Вычислите координаты точек пересечения с осью $y$ тех касательных к графику функции $y = \frac{x + 4}{x - 5}$, которые образуют угол $135^\circ$ с осью $x$.

а)

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции равен тангенсу угла, который касательная образует с положительным направлением оси $x$. По условию, угол равен $45^\circ$, следовательно, угловой коэффициент касательных равен:
$k = \tan(45^\circ) = 1$.

С другой стороны, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции $y(x)$ в этой точке, то есть $k = y'(x_0)$.
Найдем производную функции $y = \frac{3x - 1}{x + 8}$, используя правило дифференцирования частного:
$y' = \left(\frac{3x - 1}{x + 8}\right)' = \frac{(3x - 1)'(x + 8) - (3x - 1)(x + 8)'}{(x + 8)^2} = \frac{3(x + 8) - (3x - 1) \cdot 1}{(x + 8)^2} = \frac{3x + 24 - 3x + 1}{(x + 8)^2} = \frac{25}{(x + 8)^2}$.

Приравняем производную к найденному значению углового коэффициента $k=1$ и найдем абсциссы точек касания $x_0$:
$\frac{25}{(x_0 + 8)^2} = 1$
$(x_0 + 8)^2 = 25$
$x_0 + 8 = \pm 5$
Отсюда получаем две точки касания:
1) $x_1 + 8 = 5 \Rightarrow x_1 = -3$
2) $x_2 + 8 = -5 \Rightarrow x_2 = -13$

Теперь найдем ординаты точек касания, подставив $x_1$ и $x_2$ в исходную функцию:
1) $y_1 = y(-3) = \frac{3(-3) - 1}{-3 + 8} = \frac{-9 - 1}{5} = \frac{-10}{5} = -2$. Точка касания $A(-3, -2)$.
2) $y_2 = y(-13) = \frac{3(-13) - 1}{-13 + 8} = \frac{-39 - 1}{-5} = \frac{-40}{-5} = 8$. Точка касания $B(-13, 8)$.

Напишем уравнения касательных. Общее уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
1) Для точки $A(-3, -2)$ и $k=1$:
$y - (-2) = 1(x - (-3)) \Rightarrow y + 2 = x + 3 \Rightarrow y = x + 1$.
2) Для точки $B(-13, 8)$ и $k=1$:
$y - 8 = 1(x - (-13)) \Rightarrow y - 8 = x + 13 \Rightarrow y = x + 21$.

Координаты точки пересечения с осью $y$ находятся при $x=0$.
1) Для касательной $y = x + 1$: при $x=0$, $y=1$. Координаты точки пересечения $(0, 1)$.
2) Для касательной $y = x + 21$: при $x=0$, $y=21$. Координаты точки пересечения $(0, 21)$.
Ответ: $(0, 1)$ и $(0, 21)$.

б)

По условию, касательные образуют угол $135^\circ$ с осью $x$. Найдем их угловой коэффициент:
$k = \tan(135^\circ) = -1$.

Найдем производную функции $y = \frac{x + 4}{x - 5}$:
$y' = \left(\frac{x + 4}{x - 5}\right)' = \frac{(x + 4)'(x - 5) - (x + 4)(x - 5)'}{(x - 5)^2} = \frac{1(x - 5) - (x + 4) \cdot 1}{(x - 5)^2} = \frac{x - 5 - x - 4}{(x - 5)^2} = \frac{-9}{(x - 5)^2}$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту $k=-1$, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$:
$\frac{-9}{(x_0 - 5)^2} = -1$
$(x_0 - 5)^2 = 9$
$x_0 - 5 = \pm 3$
Получаем две абсциссы:
1) $x_1 - 5 = 3 \Rightarrow x_1 = 8$
2) $x_2 - 5 = -3 \Rightarrow x_2 = 2$

Найдем ординаты точек касания:
1) $y_1 = y(8) = \frac{8 + 4}{8 - 5} = \frac{12}{3} = 4$. Точка касания $C(8, 4)$.
2) $y_2 = y(2) = \frac{2 + 4}{2 - 5} = \frac{6}{-3} = -2$. Точка касания $D(2, -2)$.

Напишем уравнения касательных с $k=-1$:
1) Для точки $C(8, 4)$:
$y - 4 = -1(x - 8) \Rightarrow y - 4 = -x + 8 \Rightarrow y = -x + 12$.
2) Для точки $D(2, -2)$:
$y - (-2) = -1(x - 2) \Rightarrow y + 2 = -x + 2 \Rightarrow y = -x$.

Найдем точки пересечения этих касательных с осью $y$ (при $x=0$):
1) Для $y = -x + 12$: при $x=0$, $y=12$. Координаты точки $(0, 12)$.
2) Для $y = -x$: при $x=0$, $y=0$. Координаты точки $(0, 0)$.
Ответ: $(0, 12)$ и $(0, 0)$.