Номер 29.27, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.27, страница 109.

29.27 С помощью формулы $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ вычислите приближённо:

а) $0,998^5$;

б) $\sqrt{1,05}$;

в) $1,03^7$;

г) $\sqrt{3,99}$.

Для приближенного вычисления значений используем формулу линейного приближения функции, которая является уравнением касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $(a, f(a))$: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$.

а) Вычислим приближенно $0,998^5$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5$. Нам нужно найти значение этой функции в точке $x = 0,998$. В качестве опорной точки $a$ выберем $a=1$, так как это близкое к $x$ значение, в котором легко вычислить функцию и ее производную.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^5)' = 5x^4$.

Теперь вычислим значения функции и ее производной в точке $a=1$:

$f(a) = f(1) = 1^5 = 1$

$f'(a) = f'(1) = 5 \cdot 1^4 = 5$

Подставим найденные значения в формулу приближения:

$0,998^5 \approx f(1) + f'(1)(0,998 - 1) = 1 + 5 \cdot (-0,002) = 1 - 0,01 = 0,99$.

Ответ: $0,99$.

б) Вычислим приближенно $\sqrt{1,05}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Точка, в которой ищем значение, $x = 1,05$. В качестве опорной точки $a$ выберем $a=1$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значения функции и производной в точке $a=1$:

$f(a) = f(1) = \sqrt{1} = 1$

$f'(a) = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} = 0,5$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{1,05} \approx f(1) + f'(1)(1,05 - 1) = 1 + 0,5 \cdot 0,05 = 1 + 0,025 = 1,025$.

Ответ: $1,025$.

в) Вычислим приближенно $1,03^7$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^7$. Точка $x = 1,03$, опорная точка $a=1$.

Найдем производную: $f'(x) = (x^7)' = 7x^6$.

Вычислим значения в точке $a=1$:

$f(a) = f(1) = 1^7 = 1$

$f'(a) = f'(1) = 7 \cdot 1^6 = 7$

Подставим значения в формулу:

$1,03^7 \approx f(1) + f'(1)(1,03 - 1) = 1 + 7 \cdot 0,03 = 1 + 0,21 = 1,21$.

Ответ: $1,21$.

г) Вычислим приближенно $\sqrt{3,99}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Точка $x = 3,99$. В качестве опорной точки $a$ удобно выбрать $a=4$, так как $\sqrt{4}$ является целым числом.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значения функции и производной в точке $a=4$:

$f(a) = f(4) = \sqrt{4} = 2$

$f'(a) = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0,25$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{3,99} \approx f(4) + f'(4)(3,99 - 4) = 2 + 0,25 \cdot (-0,01) = 2 - 0,0025 = 1,9975$.

Ответ: $1,9975$.