Номер 29.29, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.29, страница 109.

Через точку B проведите касательную к графику функции $y = f(x)$, если:

29.29 а) $f(x) = -x^2 - 7x + 8$, $B(1; 1)$;

б) $f(x) = -x^2 - 7x + 8$, $B(0; 9)$.

а) Дана функция $f(x) = -x^2 - 7x + 8$ и точка $B(1; 1)$.

Сначала проверим, лежит ли точка $B$ на графике функции. Для этого подставим координату $x=1$ в уравнение функции:

$f(1) = -(1)^2 - 7(1) + 8 = -1 - 7 + 8 = 0$.

Поскольку $f(1) = 0 \neq 1$, точка $B(1; 1)$ не лежит на графике функции. Следовательно, мы ищем касательную к графику, проходящую через внешнюю точку.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 7x + 8)' = -2x - 7$.

Пусть $A(x_0, f(x_0))$ — точка касания. Тогда $f(x_0) = -x_0^2 - 7x_0 + 8$ и $f'(x_0) = -2x_0 - 7$.

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной:

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$.

Поскольку касательная проходит через точку $B(1; 1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = 1$ и $y = 1$ в это уравнение, чтобы найти $x_0$:

$1 = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(1 - x_0)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$1 = -x_0^2 - 7x_0 + 8 - 2x_0 + 2x_0^2 - 7 + 7x_0$

$1 = x_0^2 - 2x_0 + 1$

$x_0^2 - 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$

Получили два значения для абсциссы точки касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = 2$. Это означает, что через точку $B(1; 1)$ можно провести две касательные к графику функции.

1. Найдем уравнение первой касательной (при $x_0 = 0$):

Находим $f(0)$ и $f'(0)$:

$f(0) = -(0)^2 - 7(0) + 8 = 8$

$f'(0) = -2(0) - 7 = -7$

Уравнение касательной: $y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 8 - 7x$.

2. Найдем уравнение второй касательной (при $x_0 = 2$):

Находим $f(2)$ и $f'(2)$:

$f(2) = -(2)^2 - 7(2) + 8 = -4 - 14 + 8 = -10$

$f'(2) = -2(2) - 7 = -4 - 7 = -11$

Уравнение касательной: $y = f(2) + f'(2)(x - 2) = -10 - 11(x - 2) = -10 - 11x + 22 = -11x + 12$.

Ответ: $y = -7x + 8$ и $y = -11x + 12$.

б) Дана функция $f(x) = -x^2 - 7x + 8$ и точка $B(0; 9)$.

Проверим, лежит ли точка $B$ на графике функции:

$f(0) = -(0)^2 - 7(0) + 8 = 8$.

Поскольку $f(0) = 8 \neq 9$, точка $B(0; 9)$ не лежит на графике функции.

Используем общее уравнение касательной в точке $A(x_0, f(x_0))$, как и в предыдущем пункте:

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$.

Касательная проходит через точку $B(0; 9)$. Подставим $x = 0$ и $y = 9$ в уравнение, чтобы найти $x_0$:

$9 = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(0 - x_0)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$9 = -x_0^2 - 7x_0 + 8 + 2x_0^2 + 7x_0$

$9 = x_0^2 + 8$

$x_0^2 = 1$

Получили два значения для абсциссы точки касания: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -1$. Снова получаем две касательные.

1. Найдем уравнение первой касательной (при $x_0 = 1$):

Находим $f(1)$ и $f'(1)$:

$f(1) = -(1)^2 - 7(1) + 8 = -1 - 7 + 8 = 0$

$f'(1) = -2(1) - 7 = -9$

Уравнение касательной: $y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 0 - 9(x - 1) = -9x + 9$.

2. Найдем уравнение второй касательной (при $x_0 = -1$):

Находим $f(-1)$ и $f'(-1)$:

$f(-1) = -(-1)^2 - 7(-1) + 8 = -1 + 7 + 8 = 14$

$f'(-1) = -2(-1) - 7 = 2 - 7 = -5$

Уравнение касательной: $y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1)) = 14 - 5(x + 1) = 14 - 5x - 5 = -5x + 9$.

Ответ: $y = -9x + 9$ и $y = -5x + 9$.