Номер 29.26, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.26, страница 109.

29.26 Составьте уравнение параболы $y = x^2 + bx + c$, касающейся прямой $y = x - 1$ в точке $(2; 1)$.

Для того чтобы найти уравнение параболы $y = x^2 + bx + c$, нам нужно определить значения коэффициентов $b$ и $c$. Для этого мы используем два условия, данных в задаче.

1. Условие принадлежности точки касания параболе.

Парабола касается прямой в точке $(2; 1)$, следовательно, эта точка принадлежит параболе. Подставим координаты этой точки $(x=2, y=1)$ в уравнение параболы:

$1 = 2^2 + b \cdot 2 + c$

$1 = 4 + 2b + c$

Отсюда получаем первое уравнение для $b$ и $c$:

$2b + c = 1 - 4$

$2b + c = -3$ (1)

2. Условие равенства угловых коэффициентов в точке касания.

В точке касания угловой коэффициент касательной к параболе равен угловому коэффициенту самой прямой.

Угловой коэффициент прямой $y = x - 1$ равен 1 (коэффициент при $x$).

Угловой коэффициент касательной к параболе в любой точке $x$ находится с помощью производной функции $y(x) = x^2 + bx + c$.

Найдем производную:

$y'(x) = (x^2 + bx + c)' = 2x + b$

В точке касания $x=2$, значение производной (угловой коэффициент) должно быть равно 1:

$y'(2) = 2 \cdot 2 + b = 4 + b$

Приравниваем угловые коэффициенты:

$4 + b = 1$

Отсюда находим значение $b$:

$b = 1 - 4 = -3$

3. Нахождение коэффициента c и составление итогового уравнения.

Теперь, когда мы знаем значение $b$, подставим его в уравнение (1), полученное на первом шаге:

$2(-3) + c = -3$

$-6 + c = -3$

$c = -3 + 6 = 3$

Мы нашли оба коэффициента: $b=-3$ и $c=3$.

Подставляем их в исходное уравнение параболы $y = x^2 + bx + c$:

$y = x^2 - 3x + 3$

Ответ: $y = x^2 - 3x + 3$.