Номер 29.24, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.24, страница 109.

29.24 Составьте уравнение той касательной к графику функции $y = f(x)$, которая образует с осью $x$ заданный угол $\alpha$, если:

a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$, $\alpha = 60^{\circ}$;

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$, $\alpha = 30^{\circ}$.

а) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x$, $\alpha = 60^\circ$;

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ связан с углом наклона $\alpha$ к оси $x$ соотношением $k = \tan(\alpha)$. Также $k$ равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$.

$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}x^3 - 3\sqrt{3}x\right)' = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3x^2 - 3\sqrt{3} = \frac{3}{\sqrt{3}}x^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3}$.

3. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$.

$\sqrt{3}x_0^2 - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$x_0^2 - 3 = 1$

$x_0^2 = 4$

Следовательно, существуют две точки касания: $x_{0,1} = 2$ и $x_{0,2} = -2$.

4. Составим уравнения для каждой из двух касательных.

Случай 1: $x_0 = 2$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(2)^3 - 3\sqrt{3}(2) = \frac{8}{\sqrt{3}} - 6\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} - \frac{18\sqrt{3}}{3} = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Подставим $x_0 = 2$, $y_0 = -\frac{10\sqrt{3}}{3}$ и $k = \sqrt{3}$ в уравнение касательной:

$y = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x - 2) = -\frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}x - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}x - \frac{10\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(-2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3 - 3\sqrt{3}(-2) = -\frac{8}{\sqrt{3}} + 6\sqrt{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{18\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Подставим $x_0 = -2$, $y_0 = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ и $k = \sqrt{3}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x - (-2)) = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}(x + 2) = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}x + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}x + \frac{10\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \sqrt{3}x - \frac{16\sqrt{3}}{3}$ и $y = \sqrt{3}x + \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3$, $\alpha = 30^\circ$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$.

$k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x^3\right)' = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3x^2 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}x^2$.

3. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$.

$\frac{4\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}x_0^2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x_0^2$

$\frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}x_0^2$

$\sqrt{3} = \sqrt{3}x_0^2$

$x_0^2 = 1$

Следовательно, существуют две точки касания: $x_{0,1} = 1$ и $x_{0,2} = -1$.

4. Составим уравнения для каждой из двух касательных.

Случай 1: $x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(1)^3 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Подставим $x_0 = 1$, $y_0 = \sqrt{3}$ и $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ в уравнение касательной:

$y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -1$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(-1) = \frac{4}{\sqrt{3}}(-1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3 = -\frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$.

Подставим $x_0 = -1$, $y_0 = -\sqrt{3}$ и $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ в уравнение касательной:

$y = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1)) = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1) = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.