Номер 29.22, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.22, страница 108.

29.22 a) $f(x) = \sin x, y = -x$;

б) $f(x) = \cos 3x, y = 0$;

В) $f(x) = \text{tg } x, y = x$;

Г) $f(x) = \sin \frac{x}{3}, y = -1?$;

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \sin x$ и $y = -x$, необходимо решить уравнение $f(x) = y$, то есть $\sin x = -x$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $\sin x + x = 0$.

Очевидно, что $x=0$ является решением данного уравнения, так как $\sin 0 + 0 = 0 + 0 = 0$.

Чтобы определить, есть ли другие решения, рассмотрим функцию $g(x) = \sin x + x$. Найдем ее производную: $g'(x) = (\sin x + x)' = \cos x + 1$.

Так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, то производная $g'(x)$ всегда неотрицательна: $0 \le \cos x + 1 \le 2$. Поскольку производная равна нулю только в отдельных точках (при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in Z$), функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Строго возрастающая функция может принимать любое свое значение, в том числе и 0, только один раз.

Следовательно, $x=0$ — это единственное решение уравнения. Найдем соответствующую ординату: $y = -0 = 0$.

Ответ: $(0, 0)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \cos 3x$ и $y = 0$, необходимо решить уравнение $\cos 3x = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение уравнения $\cos t = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

В нашем случае $t = 3x$. Приравниваем: $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ордината всех точек пересечения равна $y=0$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, 0)$, где $k \in Z$.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \operatorname{tg} x$ и $y = x$, необходимо решить уравнение $\operatorname{tg} x = x$.

Методом подбора можно найти одно решение: $x=0$, так как $\operatorname{tg} 0 = 0$. Этой точке соответствует точка пересечения с координатами $(0, 0)$.

Данное уравнение является трансцендентным. Графический анализ показывает, что кроме $x=0$, существует бесконечное множество других решений, так как прямая $y=x$ пересекает каждую ветвь графика $y=\operatorname{tg} x$. Эти решения не могут быть выражены через элементарные функции и находятся численными методами.

В рамках школьного курса обычно достаточно указать очевидное решение.

Ответ: $(0, 0)$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $f(x) = \sin^2 \frac{x}{3}$ и $y = -1$, необходимо решить уравнение $\sin^2 \frac{x}{3} = -1$.

Функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$. Следовательно, квадрат синуса, $\sin^2 \frac{x}{3}$, может принимать значения только в диапазоне $[0, 1]$.

Таким образом, выражение $\sin^2 \frac{x}{3}$ всегда является неотрицательным числом. Уравнение $\sin^2 \frac{x}{3} = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как неотрицательная величина не может быть равна отрицательному числу.

Это означает, что графики данных функций не пересекаются.

Ответ: решений нет.