Номер 29.17, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.17, страница 108.

29.17 Напишите уравнения касательных к графику функции $y = 9 - x^2$ в точках его пересечения с осью абсцисс.

Чтобы найти уравнения касательных, сначала определим точки касания. Это точки пересечения графика функции $y = 9 - x^2$ с осью абсцисс, то есть точки, где $y=0$.

Приравняем функцию к нулю и решим уравнение:

$9 - x^2 = 0$

$x^2 = 9$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, точки пересечения с осью абсцисс (и точки касания) — это $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Найдем производную нашей функции $f(x) = 9 - x^2$:

$f'(x) = (9 - x^2)' = -2x$

Теперь составим уравнение касательной для каждой из двух точек.

Касательная в точке $(3, 0)$

В этом случае абсцисса точки касания $x_0 = 3$.

Значение функции в этой точке: $f(3) = 9 - 3^2 = 0$.

Значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной): $f'(3) = -2 \cdot 3 = -6$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 0 + (-6)(x - 3)$

$y = -6x + 18$

Касательная в точке $(-3, 0)$

В этом случае абсцисса точки касания $x_0 = -3$.

Значение функции в этой точке: $f(-3) = 9 - (-3)^2 = 0$.

Значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной): $f'(-3) = -2 \cdot (-3) = 6$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 6(x - (-3))$

$y = 6(x + 3)$

$y = 6x + 18$

Ответ: $y = -6x + 18$ и $y = 6x + 18$.