Номер 29.14, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.14, страница 107.

29.14 a) $f(x) = 2\sqrt{3x - 5}, a = 2;$

б) $f(x) = \sqrt{7 - 2x}, a = 3.$

а)

Дана функция $f(x) = 2\sqrt{3x - 5}$ и точка $a = 2$.
Предположим, что задача состоит в нахождении значения производной функции в точке $a$, то есть $f'(a)$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого представим функцию в виде $f(x) = 2(3x-5)^{\frac{1}{2}}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), согласно которому производная функции $g(h(x))$ равна $g'(h(x)) \cdot h'(x)$, и формулу производной степенной функции $(u^n)'=nu^{n-1}$.
В нашем случае, $u = 3x-5$, а $u' = 3$.
$f'(x) = (2(3x-5)^{\frac{1}{2}})' = 2 \cdot \frac{1}{2}(3x-5)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (3x-5)'$
$f'(x) = (3x-5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{3x-5}}$
Теперь вычислим значение производной в точке $a=2$. Убедимся, что точка входит в область определения производной ($3x-5 > 0$, то есть $x > 5/3$). Так как $2 > 5/3$, вычисление возможно.
$f'(2) = \frac{3}{\sqrt{3 \cdot 2 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{6 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = 3$

Ответ: $3$

б)

Дана функция $f(x) = \sqrt{7 - 2x}$ и точка $a = 3$.
Аналогично пункту а), найдем значение производной функции в точке $a$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Запишем функцию в виде $f(x) = (7 - 2x)^{\frac{1}{2}}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции.
В данном случае, внутренняя функция $u = 7 - 2x$, ее производная $u' = -2$.
$f'(x) = ((7 - 2x)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(7 - 2x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (7 - 2x)'$
$f'(x) = \frac{1}{2}(7 - 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2) = -(7 - 2x)^{-\frac{1}{2}} = \frac{-1}{\sqrt{7 - 2x}}$
Теперь вычислим значение производной в точке $a=3$. Область определения производной: $7 - 2x > 0$, то есть $x < 3.5$. Так как $3 < 3.5$, точка входит в область определения.
$f'(3) = \frac{-1}{\sqrt{7 - 2 \cdot 3}} = \frac{-1}{\sqrt{7 - 6}} = \frac{-1}{\sqrt{1}} = -1$

Ответ: $-1$