Номер 29.11, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.11, страница 107.

29.11 a) $f(x) = \sqrt{3} \cos \frac{x}{3}, a = \frac{3\pi}{2};$

б) $f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x, a = -\frac{\pi}{2}.$

а) Для функции $f(x) = \sqrt{3}\cos\frac{x}{3}$ в точке $a = \frac{3\pi}{2}$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому будем использовать правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \sqrt{3}\cos u$, а внутренняя $h(x) = \frac{x}{3}$.

Производная внешней функции: $g'(u) = -\sqrt{3}\sin u$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = -\sqrt{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = \frac{3\pi}{2}$.

$f'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

3. Мы знаем, что значение $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

4. Подставляем это значение в наше выражение:

$f'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ в точке $a = -\frac{\pi}{2}$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Это также сложная функция.

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)' = \frac{1}{2}(\sin 2x)'$.

Используя правило дифференцирования сложной функции, где внешняя функция $\sin u$, а внутренняя $u=2x$, получаем:

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = -\frac{\pi}{2}$.

$f'\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos(-\pi)$.

3. Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно, $\cos(-\pi) = \cos(\pi)$.

4. Мы знаем, что значение $\cos(\pi) = -1$.

Таким образом, $f'\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

Ответ: $-1$.