Номер 29.6, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.6, страница 107.

29.6 a) $f(x) = \sin x, a = 0$;

Б) $f(x) = \operatorname{tg} 2x, a = \frac{\pi}{8}$;

В) $f(x) = \cos 3x, a = \frac{\pi}{2}$;

Г) $f(x) = \sin x, a = \frac{\pi}{3}$.

а) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $a = 0$.

Задача состоит в нахождении значения производной функции в указанной точке, то есть $f'(a)$.

1. Находим производную функции $f(x)$. Производная от синуса есть косинус:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$:

$f'(0) = \cos(0) = 1$.

Ответ: 1.

---

б) Дана функция $f(x) = \tg 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{8}$.

1. Находим производную функции $f(x)$. Так как это сложная функция, применяем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Внешняя функция $g(u) = \tg u$, её производная $g'(u) = \frac{1}{\cos^2 u}$.

Внутренняя функция $h(x) = 2x$, её производная $h'(x) = 2$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\tg(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{8}$:

$f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2}{\cos^2(2 \cdot \frac{\pi}{8})} = \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.

Известно, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем полученное значение:

$f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$.

Ответ: 4.

---

в) Дана функция $f(x) = \cos 3x$ и точка $a = \frac{\pi}{2}$.

1. Находим производную сложной функции $f(x) = \cos(3x)$.

Внешняя функция $g(u) = \cos u$, её производная $g'(u) = -\sin u$.

Внутренняя функция $h(x) = 3x$, её производная $h'(x) = 3$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -3\sin(\frac{3\pi}{2})$.

Известно, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Подставляем значение:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot (-1) = 3$.

Ответ: 3.

---

г) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $a = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.

Известно, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.