Номер 28.51, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.51, страница 105.

28.51 a) $f'(x) = \sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $f'(x) = \frac{4}{\cos^2 (5x - 1)}$.

а) Задача состоит в том, чтобы найти функцию $f(x)$, зная её производную $f'(x)$. Это обратная операция к дифференцированию, которая называется интегрированием. Мы должны найти первообразную для данной функции.

Дано: $f'(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Находим $f(x)$ путем вычисления неопределенного интеграла:

$f(x) = \int \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) dx$

Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть $u = 3x - \frac{\pi}{3}$. Тогда дифференциал $du$ равен $d(3x - \frac{\pi}{3}) = 3 dx$, откуда $dx = \frac{1}{3}du$.

Подставляем новые переменные в интеграл:

$\int \sin(u) \cdot \frac{1}{3}du = \frac{1}{3} \int \sin(u) du$

Интеграл от синуса — это минус косинус:

$\frac{1}{3} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{3}\cos(u) + C$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $u$ выражение $3x - \frac{\pi}{3}$:

$f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования, так как производная от константы равна нулю.

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C$.

б) Аналогично предыдущему пункту, найдем первообразную для функции $f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x-1)}$.

Находим $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int \frac{4}{\cos^2(5x-1)} dx$

Вынесем константу 4 за знак интеграла:

$f(x) = 4 \int \frac{1}{\cos^2(5x-1)} dx$

Снова используем метод замены переменной. Пусть $u = 5x-1$. Тогда $du = d(5x-1) = 5 dx$, и $dx = \frac{1}{5}du$.

Подставляем в интеграл:

$4 \int \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{1}{5}du = \frac{4}{5} \int \frac{1}{\cos^2(u)} du$

Известно, что первообразная для $\frac{1}{\cos^2(u)}$ — это $\tan(u)$:

$\frac{4}{5} \tan(u) + C$

Проводим обратную замену $u = 5x-1$:

$f(x) = \frac{4}{5}\tan(5x-1) + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = \frac{4}{5}\tan(5x-1) + C$.