Номер 29.3, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.3, страница 106.

29.3 Тупой или острый угол образует с положительным направлением оси $x$ касательная к графику функции $y = f(x)$, проведённая в точке с абсциссой $x = a$, если:

а) $f(x) = 4 + x^2$, $a = 2$;

б) $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$, $a = 3$;

в) $f(x) = (1 - x)^3$, $a = -3$;

г) $f(x) = 2x - x^3$, $a = 1?`

Чтобы определить, какой угол (острый или тупой) образует касательная к графику функции с положительным направлением оси $x$, необходимо найти знак производной этой функции в точке касания. Угловой коэффициент касательной $k$ в точке с абсциссой $x = a$ равен значению производной $f'(a)$.
- Если $f'(a) > 0$, то касательная образует острый угол.
- Если $f'(a) < 0$, то касательная образует тупой угол.

а) $f(x) = 4 + x^2, a = 2;$
1. Находим производную функции: $f'(x) = (4 + x^2)' = 2x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 2$: $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
3. Так как $f'(2) = 4 > 0$, угол, образуемый касательной, является острым.
Ответ: острый угол.

б) $f(x) = 1 - \frac{1}{x}, a = 3;$
1. Находим производную функции: $f'(x) = (1 - x^{-1})' = -(-1)x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 3$: $f'(3) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
3. Так как $f'(3) = \frac{1}{9} > 0$, угол является острым.
Ответ: острый угол.

в) $f(x) = (1 - x)^3, a = -3;$
1. Находим производную функции по правилу дифференцирования сложной функции: $f'(x) = ((1 - x)^3)' = 3(1 - x)^2 \cdot (1 - x)' = 3(1 - x)^2 \cdot (-1) = -3(1 - x)^2$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = -3$: $f'(-3) = -3(1 - (-3))^2 = -3(1 + 3)^2 = -3 \cdot 4^2 = -3 \cdot 16 = -48$.
3. Так как $f'(-3) = -48 < 0$, угол является тупым.
Ответ: тупой угол.

г) $f(x) = 2x - x^3, a = 1?$
1. Находим производную функции: $f'(x) = (2x - x^3)' = 2 - 3x^2$.
2. Вычисляем значение производной в точке $a = 1$: $f'(1) = 2 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1$.
3. Так как $f'(1) = -1 < 0$, угол является тупым.
Ответ: тупой угол.