Номер 29.10, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.10, страница 107.

29.10 a) $f(x) = \sqrt{6x+7}, a = 3\frac{1}{3};$

б) $f(x) = \sqrt{5-2x}, a = 2.$

а) Чтобы найти значение производной функции $f(x) = \sqrt{6x + 7}$ в точке $a = 3\frac{1}{3}$, необходимо сначала найти производную функции $f'(x)$, а затем вычислить ее значение в указанной точке.

1. Нахождение производной $f'(x)$.
Функция $f(x)$ является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
В данном случае, внешняя функция — это квадратный корень $g(h) = \sqrt{h}$, ее производная $g'(h) = \frac{1}{2\sqrt{h}}$.
Внутренняя функция — это подкоренное выражение $h(x) = 6x + 7$, ее производная $h'(x) = 6$.
Теперь найдем производную исходной функции: $f'(x) = (\sqrt{6x + 7})' = \frac{1}{2\sqrt{6x + 7}} \cdot (6x+7)' = \frac{1}{2\sqrt{6x + 7}} \cdot 6 = \frac{3}{\sqrt{6x + 7}}$.

2. Вычисление значения производной в точке $a$.
Сначала преобразуем смешанное число $a = 3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $a = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Подставим значение $x = a = \frac{10}{3}$ в найденное выражение для производной: $f'(\frac{10}{3}) = \frac{3}{\sqrt{6 \cdot \frac{10}{3} + 7}} = \frac{3}{\sqrt{2 \cdot 10 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{20 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{27}}$.
Упростим полученное выражение. Так как $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$, получаем: $f'(\frac{10}{3}) = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Для функции $f(x) = \sqrt{5 - 2x}$ и точки $a = 2$ выполним аналогичные действия.

1. Нахождение производной $f'(x)$.
Снова используем цепное правило. Внешняя функция $g(h) = \sqrt{h}$ с производной $g'(h) = \frac{1}{2\sqrt{h}}$. Внутренняя функция $h(x) = 5 - 2x$ с производной $h'(x) = -2$.
Производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (\sqrt{5 - 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{5 - 2x}} \cdot (5 - 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{5 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{5 - 2x}}$.

2. Вычисление значения производной в точке $a$.
Подставим значение $x = a = 2$ в выражение для производной: $f'(2) = -\frac{1}{\sqrt{5 - 2 \cdot 2}} = -\frac{1}{\sqrt{5 - 4}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -\frac{1}{1} = -1$.
Ответ: -1.