Номер 29.15, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.15, страница 107.

29.15 a) $f(x) = \cos\frac{x}{3}, a = 0;$б) $f(x) = \sin 2x, a = \frac{\pi}{4}.$

а)

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

По условию даны функция $f(x) = \cos\frac{x}{3}$ и точка $a = 0$.

1. Найдём значение функции в точке $a = 0$:
$f(0) = \cos\frac{0}{3} = \cos(0) = 1$.

2. Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\cos\frac{x}{3})' = -\sin(\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = -\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}$.

3. Найдём значение производной в точке $a = 0$:
$f'(0) = -\frac{1}{3}\sin\frac{0}{3} = -\frac{1}{3}\sin(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=0$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 0 \cdot (x - 0)$
$y = 1$.

Ответ: $y=1$.

б)

Снова используем уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

По условию даны функция $f(x) = \sin 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{4}$.

1. Найдём значение функции в точке $a = \frac{\pi}{4}$:
$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.

3. Найдём значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(\frac{\pi}{4})=1$ и $f'(\frac{\pi}{4})=0$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 0 \cdot (x - \frac{\pi}{4})$
$y = 1$.

Ответ: $y=1$.