Номер 29.9, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.9, страница 107.

29.9 a) $f(x) = \frac{2x - 1}{3 - 2x}$, $a = \frac{1}{2}$;

б) $f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}$, $a = 1$.

а)

Для решения задачи необходимо найти такое значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x) = a$. Подставим в это равенство заданные функцию и значение.

Дано: $f(x) = \frac{2x - 1}{3 - 2x}$ и $a = \frac{1}{2}$.

Получаем уравнение:

$\frac{2x - 1}{3 - 2x} = \frac{1}{2}$

Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения является множество всех чисел, для которых знаменатель дроби не равен нулю:

$3 - 2x \neq 0$

$2x \neq 3$

$x \neq \frac{3}{2}$

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2 \cdot (2x - 1) = 1 \cdot (3 - 2x)$

Раскроем скобки:

$4x - 2 = 3 - 2x$

Перенесем члены, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:

$4x + 2x = 3 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$6x = 5$

Найдем $x$:

$x = \frac{5}{6}$

Полученное значение $x = \frac{5}{6}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \frac{3}{2}$), следовательно, является решением.

Ответ: $x = \frac{5}{6}$.

б)

Аналогично пункту а), найдем значение $x$, при котором $f(x) = a$.

Дано: $f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ и $a = 1$.

Составим уравнение:

$\frac{x - 1}{x - 2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x - 2)$, так как в ОДЗ он не равен нулю:

$x - 1 = 1 \cdot (x - 2)$

$x - 1 = x - 2$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$x - x = -2 + 1$

$0 = -1$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений ни при каком значении переменной.

Ответ: решений нет.