Номер 29.7, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.7, страница 107.

Определите, какой угол образует с осью $x$ касательная, проведённая к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

29.7 a) $f(x) = x^2$, $a = 0,5$;

б) $f(x) = -3x^3$, $a = \frac{1}{3}$;

в) $f(x) = 0,2x^5$, $a = -1$;

г) $f(x) = -0,25x^4$, $a = 0$.

Для определения угла, который образует с осью x касательная, проведённая к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, используется геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной $\alpha$ (который также является её угловым коэффициентом $k$) равен значению производной функции в точке касания:

$k = \tan(\alpha) = f'(a)$

Таким образом, для решения задачи необходимо последовательно для каждого случая:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Вычислить значение производной в точке $a$, то есть $f'(a)$.
3. Найти угол $\alpha$ из уравнения $\tan(\alpha) = f'(a)$.

а) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка с абсциссой $a = 0,5$.

1. Находим производную функции, используя правило степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^2)' = 2x$

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0,5$:

$f'(0,5) = 2 \cdot 0,5 = 1$

3. Значение производной равно тангенсу угла наклона касательной. Находим угол $\alpha$:

$\tan(\alpha) = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

б) Дана функция $f(x) = -3x^3$ и точка с абсциссой $a = \frac{1}{3}$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-3x^3)' = -3 \cdot (x^3)' = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{1}{3}$:

$f'(\frac{1}{3}) = -9 \cdot (\frac{1}{3})^2 = -9 \cdot \frac{1}{9} = -1$

3. Находим угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = -1$:

$\alpha = \arctan(-1) = 135^\circ$

Ответ: $135^\circ$.

в) Дана функция $f(x) = 0,2x^5$ и точка с абсциссой $a = -1$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (0,2x^5)' = 0,2 \cdot 5x^4 = x^4$

2. Вычисляем значение производной в точке $a = -1$:

$f'(-1) = (-1)^4 = 1$

3. Находим угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = 1$:

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

г) Дана функция $f(x) = -0,25x^4$ и точка с абсциссой $a = 0$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-0,25x^4)' = -0,25 \cdot 4x^3 = -x^3$

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$:

$f'(0) = -(0)^3 = 0$

3. Находим угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = 0$:

$\alpha = \arctan(0) = 0^\circ$

Это означает, что касательная к графику в этой точке горизонтальна и параллельна оси x.

Ответ: $0^\circ$.