Номер 28.52, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.52, страница 105.

28.52 a) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = 4x^2 - |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $60^\circ$?

б) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = x^2 + |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $45^\circ$?

а)

Рассмотрим функцию $y = 4x^2 - |a|x$.

1. Найдем точки пересечения графика функции с осью $x$, решив уравнение $y = 0$:

$4x^2 - |a|x = 0$

$x(4x - |a|) = 0$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{|a|}{4}$. Для того чтобы было две различные точки, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

2. Найдем производную функции для определения угловых коэффициентов касательных:

$y'(x) = (4x^2 - |a|x)' = 8x - |a|$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных $k_1$ и $k_2$ в точках пересечения:

В точке $x_1 = 0$: $k_1 = y'(0) = 8 \cdot 0 - |a| = -|a|$.

В точке $x_2 = \frac{|a|}{4}$: $k_2 = y'(\frac{|a|}{4}) = 8 \cdot \frac{|a|}{4} - |a| = 2|a| - |a| = |a|$.

4. Угол $\varphi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ определяется по формуле:

$\tan \varphi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

По условию, угол $\varphi = 60^\circ$, следовательно, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Подставляем значения $k_1$ и $k_2$:

$\sqrt{3} = \left| \frac{|a| - (-|a|)}{1 + (-|a|)(|a|)} \right| = \left| \frac{2|a|}{1 - |a|^2} \right|$

Пусть $z = |a|$, где $z > 0$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{3} = \frac{2z}{|1 - z^2|}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $0 < z < 1$. Тогда $|1 - z^2| = 1 - z^2$.

$\sqrt{3} = \frac{2z}{1 - z^2}$

$\sqrt{3}(1 - z^2) = 2z$

$\sqrt{3}z^2 + 2z - \sqrt{3} = 0$

Решая квадратное уравнение, получаем $z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.

Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 < z < 1$.

Случай 2: $z > 1$. Тогда $|1 - z^2| = z^2 - 1$.

$\sqrt{3} = \frac{2z}{z^2 - 1}$

$\sqrt{3}(z^2 - 1) = 2z$

$\sqrt{3}z^2 - 2z - \sqrt{3} = 0$

Решая квадратное уравнение, получаем $z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.

Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. Этот корень удовлетворяет условию $z > 1$.

Итак, мы получили два значения для $|a|$: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\sqrt{3}$.

Следовательно, $a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $a = \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}; a = \pm \sqrt{3}$.

б)

Рассмотрим функцию $y = x^2 + |a|x$.

1. Найдем точки пересечения графика функции с осью $x$, решив уравнение $y = 0$:

$x^2 + |a|x = 0$

$x(x + |a|) = 0$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -|a|$. Для того чтобы было две различные точки, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

2. Найдем производную функции:

$y'(x) = (x^2 + |a|x)' = 2x + |a|$

3. Вычислим угловые коэффициенты касательных $k_1$ и $k_2$ в точках пересечения:

В точке $x_1 = 0$: $k_1 = y'(0) = 2 \cdot 0 + |a| = |a|$.

В точке $x_2 = -|a|$: $k_2 = y'(-|a|) = 2(-|a|) + |a| = -2|a| + |a| = -|a|$.

4. Угол $\varphi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ определяется по формуле:

$\tan \varphi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

По условию, угол $\varphi = 45^\circ$, следовательно, $\tan 45^\circ = 1$. Подставляем значения $k_1$ и $k_2$:

$1 = \left| \frac{-|a| - |a|}{1 + (|a|)(-|a|)} \right| = \left| \frac{-2|a|}{1 - |a|^2} \right| = \frac{2|a|}{|1 - |a|^2|}$

Пусть $z = |a|$, где $z > 0$. Уравнение принимает вид:

$1 = \frac{2z}{|1 - z^2|}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $0 < z < 1$. Тогда $|1 - z^2| = 1 - z^2$.

$1 = \frac{2z}{1 - z^2}$

$1 - z^2 = 2z$

$z^2 + 2z - 1 = 0$

Решая квадратное уравнение, получаем $z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Так как $z > 0$, выбираем корень $z = \sqrt{2} - 1$. Этот корень удовлетворяет условию $0 < z < 1$.

Случай 2: $z > 1$. Тогда $|1 - z^2| = z^2 - 1$.

$1 = \frac{2z}{z^2 - 1}$

$z^2 - 1 = 2z$

$z^2 - 2z - 1 = 0$

Решая квадратное уравнение, получаем $z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Так как $z > 0$, выбираем корень $z = 1 + \sqrt{2}$. Этот корень удовлетворяет условию $z > 1$.

Итак, мы получили два значения для $|a|$: $\sqrt{2} - 1$ и $1 + \sqrt{2}$.

Следовательно, $a = \pm (\sqrt{2} - 1)$ и $a = \pm (1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $a = \pm (\sqrt{2} - 1); a = \pm (1 + \sqrt{2})$.