Номер 28.45, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.45, страница 104.

28.45 Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции $y = h(x)$ образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $\alpha$:

а) $h(x) = x^2 - 3x + 19, \alpha = 45^\circ;$

б) $h(x) = \frac{4}{x+2}, \alpha = 135^\circ;$

в) $h(x) = 2\sqrt{2x - 4}, \alpha = 60^\circ;$

г) $h(x) = \sin \left(4x - \frac{\pi}{3}\right), \alpha = 0^\circ.$

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $h(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси абсцисс соотношением $k = \tan(\alpha)$. Таким образом, чтобы найти абсциссы $x$ интересующих нас точек, нужно решить уравнение $h'(x) = \tan(\alpha)$.

а) $h(x) = x^2 - 3x + 19, \alpha = 45^\circ$

Сначала найдем тангенс заданного угла: $k = \tan(45^\circ) = 1$.

Далее найдем производную функции $h(x)$: $h'(x) = (x^2 - 3x + 19)' = 2x - 3$.

Теперь приравняем производную к значению тангенса и решим полученное уравнение:

$h'(x) = k$

$2x - 3 = 1$

$2x = 4$

$x = 2$

Область определения функции — все действительные числа, поэтому найденное значение является решением.

Ответ: $x=2$.

б) $h(x) = \frac{4}{x+2}, \alpha = 135^\circ$

Найдем тангенс заданного угла: $k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Найдем производную функции $h(x)$: $h'(x) = \left(\frac{4}{x+2}\right)' = (4(x+2)^{-1})' = -4(x+2)^{-2} = -\frac{4}{(x+2)^2}$.

Приравняем производную к значению тангенса и решим уравнение:

$h'(x) = k$

$-\frac{4}{(x+2)^2} = -1$

$(x+2)^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных случая:

$x+2 = 2 \implies x_1 = 0$

$x+2 = -2 \implies x_2 = -4$

Область определения функции $h(x)$ — все $x$, кроме $x=-2$. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: $x=0; x=-4$.

в) $h(x) = 2\sqrt{2x-4}, \alpha = 60^\circ$

Найдем тангенс заданного угла: $k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Найдем производную функции $h(x)$. Область определения функции задается условием $2x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

$h'(x) = (2\sqrt{2x-4})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x-4}} \cdot (2x-4)' = \frac{2}{\sqrt{2x-4}}$.

Область определения производной: $2x-4 > 0$, то есть $x > 2$.

Приравняем производную к значению тангенса и решим уравнение:

$h'(x) = k$

$\frac{2}{\sqrt{2x-4}} = \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат (они обе положительны):

$\frac{4}{2x-4} = 3$

$4 = 3(2x-4)$

$4 = 6x - 12$

$6x = 16$

$x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x > 2$. $x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, что больше 2. Следовательно, решение подходит.

Ответ: $x=\frac{8}{3}$.

г) $h(x) = \sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right), \alpha = 0^\circ$

Найдем тангенс заданного угла: $k = \tan(0^\circ) = 0$.

Найдем производную функции $h(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$h'(x) = \left(\sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)\right)' = \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot (4x)' = 4\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Приравняем производную к нулю и решим тригонометрическое уравнение:

$h'(x) = k$

$4\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$

$\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$

Это частный случай, решение которого имеет вид: $4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

Выразим $x$:

$4x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n$

$4x = \frac{3\pi+2\pi}{6} + \pi n$

$4x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Область определения функции — все действительные числа, поэтому все найденные значения являются решениями.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.