Номер 28.38, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.38, страница 103.

28.38 Решите неравенство $g'(x) > 0$, если:

a) $g(x) = x^3 + x^4;$

б) $g(x) = \frac{4}{2 - 5x}$.

а) Дана функция $g(x) = x^3 + x^4$.

Для решения неравенства $g'(x) > 0$ сначала найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы:

$g'(x) = (x^3 + x^4)' = (x^3)' + (x^4)' = 3x^2 + 4x^3$.

Теперь решим неравенство $g'(x) > 0$:

$4x^3 + 3x^2 > 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(4x + 3) > 0$

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Так как неравенство строгое, то $x^2 \ne 0$, а значит $x \ne 0$. При $x \ne 0$ множитель $x^2$ всегда строго положителен.

Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x \ne 0$, для выполнения неравенства второй множитель также должен быть положителен:

$4x + 3 > 0$

$4x > -3$

$x > -\frac{3}{4}$

Совмещая полученное условие $x > -\frac{3}{4}$ с требованием $x \ne 0$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Дана функция $g(x) = \frac{4}{2 - 5x}$.

Область определения функции задается условием, что знаменатель не равен нулю: $2 - 5x \ne 0$, откуда $x \ne \frac{2}{5}$.

Для решения неравенства $g'(x) > 0$ сначала найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = 4$ и $v(x) = 2 - 5x$. Тогда их производные: $u'(x) = 0$ и $v'(x) = -5$.

$g'(x) = \frac{0 \cdot (2 - 5x) - 4 \cdot (-5)}{(2 - 5x)^2} = \frac{20}{(2 - 5x)^2}$.

Теперь решим неравенство $g'(x) > 0$:

$\frac{20}{(2 - 5x)^2} > 0$

Числитель дроби, $20$, является положительным числом. Знаменатель дроби, $(2 - 5x)^2$, является квадратом выражения, и он положителен для всех $x$ из области определения функции (то есть при $x \ne \frac{2}{5}$).

Отношение двух положительных чисел всегда положительно. Следовательно, неравенство выполняется для всех допустимых значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.