Номер 28.32, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.32, страница 102.

Вычислите скорость изменения функции в точке $x_0$:

28.32 а) $y = (2x + 1)^5, x_0 = -1$;

б) $y = \sqrt{7x - 3}, x_0 = 1$;

в) $y = \frac{4}{12x - 5}, x_0 = 2$;

г) $y = \sqrt{11 - 5x}, x_0 = -1$.

Скорость изменения функции в точке — это значение ее производной в этой точке. Таким образом, чтобы найти скорость изменения функции $y=f(x)$ в точке $x_0$, необходимо найти ее производную $y'$ и вычислить значение этой производной в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$.

а) Дана функция $y = (2x + 1)^5$ и точка $x_0 = -1$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции $(u(x)^n)' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

В нашем случае $u(x) = 2x+1$ и $n=5$.

$y' = 5 \cdot (2x + 1)^{5-1} \cdot (2x + 1)' = 5 \cdot (2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$y'(-1) = 10(2 \cdot (-1) + 1)^4 = 10(-2 + 1)^4 = 10(-1)^4 = 10 \cdot 1 = 10$.

Ответ: $10$.

б) Дана функция $y = \sqrt{7x - 3}$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции для корня $(\sqrt{u(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$.

Здесь $u(x) = 7x - 3$.

$y' = (\sqrt{7x - 3})' = \frac{1}{2\sqrt{7x - 3}} \cdot (7x - 3)' = \frac{1}{2\sqrt{7x - 3}} \cdot 7 = \frac{7}{2\sqrt{7x - 3}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$y'(1) = \frac{7}{2\sqrt{7 \cdot 1 - 3}} = \frac{7}{2\sqrt{7 - 3}} = \frac{7}{2\sqrt{4}} = \frac{7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{4}$.

в) Дана функция $y = \frac{4}{12x - 5}$ и точка $x_0 = 2$.

Представим функцию в виде степенной: $y = 4(12x - 5)^{-1}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(k \cdot u(x)^n)' = k \cdot n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.

$y' = 4 \cdot (-1) \cdot (12x - 5)^{-1-1} \cdot (12x - 5)' = -4(12x - 5)^{-2} \cdot 12 = \frac{-48}{(12x - 5)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$y'(2) = \frac{-48}{(12 \cdot 2 - 5)^2} = \frac{-48}{(24 - 5)^2} = \frac{-48}{19^2} = -\frac{48}{361}$.

Ответ: $-\frac{48}{361}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{11 - 5x}$ и точка $x_0 = -1$.

Используем правило дифференцирования сложной функции для корня $(\sqrt{u(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$.

Здесь $u(x) = 11 - 5x$.

$y' = (\sqrt{11 - 5x})' = \frac{1}{2\sqrt{11 - 5x}} \cdot (11 - 5x)' = \frac{1}{2\sqrt{11 - 5x}} \cdot (-5) = \frac{-5}{2\sqrt{11 - 5x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$y'(-1) = \frac{-5}{2\sqrt{11 - 5(-1)}} = \frac{-5}{2\sqrt{11 + 5}} = \frac{-5}{2\sqrt{16}} = \frac{-5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8}$.

Ответ: $-\frac{5}{8}$.