Номер 28.27, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.27, страница 101.

28.27 a) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 2$, если известно, что $f(x) = 2\sqrt{x} - 5x + 3$?

б) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 1$, если известно, что $f(x) = 3x - \sqrt{x} + 13$?

а)

Для решения задачи нам нужно найти значение $x$, при котором производная функции $f(x)$ равна 2.

Дана функция: $f(x) = 2\sqrt{x} - 5x + 3$.

Сначала найдем производную этой функции, $f'(x)$. Область определения производной $x > 0$.

Используем правила дифференцирования: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, $(u-v+w)' = u'-v'+w'$, и формулы производных: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(x)' = 1$, $(C)' = 0$.

$f'(x) = (2\sqrt{x} - 5x + 3)' = 2 \cdot (\sqrt{x})' - 5 \cdot (x)' + (3)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 5 \cdot 1 + 0 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 5$.

Теперь приравняем полученную производную к 2, согласно условию $f'(x) = 2$:

$\frac{1}{\sqrt{x}} - 5 = 2$

Перенесем $-5$ в правую часть уравнения:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 2 + 5$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 7$

Из этого выражения находим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{7}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = \left(\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{1}{49}$

Значение $x = \frac{1}{49}$ удовлетворяет области определения производной ($x > 0$).

Ответ: $x = \frac{1}{49}$.

б)

Для решения задачи нам нужно найти значение $x$, при котором производная функции $f(x)$ равна 1.

Дана функция: $f(x) = 3x - \sqrt{x} + 13$.

Сначала найдем производную этой функции, $f'(x)$. Область определения производной $x > 0$.

Используя те же правила дифференцирования:

$f'(x) = (3x - \sqrt{x} + 13)' = 3 \cdot (x)' - (\sqrt{x})' + (13)' = 3 \cdot 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = 3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь приравняем полученную производную к 1, согласно условию $f'(x) = 1$:

$3 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

Перенесем 1 влево, а член с корнем вправо:

$3 - 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$2 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{x}$:

$2 \cdot 2\sqrt{x} = 1$

$4\sqrt{x} = 1$

Отсюда находим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$

Значение $x = \frac{1}{16}$ удовлетворяет области определения производной ($x > 0$).

Ответ: $x = \frac{1}{16}$.