Номер 28.34, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.34, страница 102.

28.34 Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$:

а) $h(x) = (0.5x + 3)^7, x_0 = -4$;

б) $h(x) = \sqrt{16x + 21}, x_0 = \frac{1}{4}$;

в) $h(x) = \frac{18}{4x + 1}, x_0 = 0.5$;

г) $h(x) = \sqrt{6 - 2x}, x_0 = 1$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти тангенс угла между касательной и осью $x$, необходимо найти значение производной функции $h'(x)$ в точке $x_0$.

а) Дана функция $h(x) = (0,5x + 3)^7$ и точка $x_0 = -4$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$h'(x) = 7(0,5x + 3)^{7-1} \cdot (0,5x + 3)' = 7(0,5x + 3)^6 \cdot 0,5 = 3,5(0,5x + 3)^6$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -4$:

$h'(-4) = 3,5 \cdot (0,5 \cdot (-4) + 3)^6 = 3,5 \cdot (-2 + 3)^6 = 3,5 \cdot 1^6 = 3,5$.

Ответ: 3,5.

б) Дана функция $h(x) = \sqrt{16x + 21}$ и точка $x_0 = \frac{1}{4}$.

Найдем производную, используя правило для сложной функции и производную квадратного корня $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

$h'(x) = (\sqrt{16x + 21})' = \frac{1}{2\sqrt{16x + 21}} \cdot (16x + 21)' = \frac{1}{2\sqrt{16x + 21}} \cdot 16 = \frac{8}{\sqrt{16x + 21}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:

$h'(\frac{1}{4}) = \frac{8}{\sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} + 21}} = \frac{8}{\sqrt{4 + 21}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5} = 1,6$.

Ответ: 1,6.

в) Дана функция $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$ и точка $x_0 = 0,5$.

Представим функцию в виде $h(x) = 18(4x + 1)^{-1}$ и найдем производную.

$h'(x) = (18(4x + 1)^{-1})' = 18 \cdot (-1)(4x + 1)^{-2} \cdot (4x + 1)' = -18(4x + 1)^{-2} \cdot 4 = -\frac{72}{(4x + 1)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$:

$h'(0,5) = -\frac{72}{(4 \cdot 0,5 + 1)^2} = -\frac{72}{(2 + 1)^2} = -\frac{72}{3^2} = -\frac{72}{9} = -8$.

Ответ: -8.

г) Дана функция $h(x) = \sqrt{6 - 2x}$ и точка $x_0 = 1$.

Найдем производную функции $h(x)$, используя правило для сложной функции.

$h'(x) = (\sqrt{6 - 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{6 - 2x}} \cdot (6 - 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{6 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$h'(1) = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2 \cdot 1}} = -\frac{1}{\sqrt{6 - 2}} = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Ответ: -0,5.