Номер 28.37, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.37, страница 103.

28.37 а) $f(x) = \sin 2x;$

б) $f(x) = -4 \cos x + 2x.$

а) Чтобы найти все первообразные для функции $f(x) = \sin(2x)$, необходимо вычислить неопределенный интеграл $F(x) = \int \sin(2x) dx$.

Это интеграл от сложной функции. Для его вычисления воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную $t = 2x$.

Найдем дифференциал $dt$: $dt = d(2x) = (2x)' dx = 2 dx$.

Из этого соотношения выразим $dx$: $dx = \frac{dt}{2}$.

Теперь подставим $t$ и $dx$ в исходный интеграл:

$\int \sin(2x) dx = \int \sin(t) \frac{dt}{2}$

Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{2} \int \sin(t) dt$

По таблице основных интегралов, первообразная для $\sin(t)$ равна $-\cos(t)$. Получаем:

$\frac{1}{2} (-\cos(t)) + C = -\frac{1}{2}\cos(t) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его выражение через $x$, то есть $t=2x$:

$F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

б) Чтобы найти все первообразные для функции $f(x) = -4\cos x + 2x$, необходимо вычислить неопределенный интеграл $F(x) = \int (-4\cos x + 2x) dx$.

Воспользуемся свойствами интегралов: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

$\int (-4\cos x + 2x) dx = \int (-4\cos x) dx + \int 2x dx = -4\int \cos x dx + 2\int x dx$.

Теперь найдем каждый интеграл по отдельности, используя таблицу первообразных:

1. Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$.

2. Первообразная для степенной функции $x^1$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $n=1$, поэтому первообразная для $x$ есть $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

Подставим найденные первообразные обратно в выражение и добавим одну общую постоянную интегрирования $C$:

$F(x) = -4(\sin x) + 2\left(\frac{x^2}{2}\right) + C = -4\sin x + x^2 + C$.

Для удобства записи поменяем слагаемые местами:

$F(x) = x^2 - 4\sin x + C$.

Ответ: $F(x) = x^2 - 4\sin x + C$.