Номер 28.22, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §28. Вычисление производных - номер 28.22, страница 100.

Условие.

28.22 a) $y = \frac{2}{x} - 1$, $x_0 = 4$;

Б) $y = \sqrt{x + 4}$, $x_0 = 9$;

В) $y = \frac{8}{x} - 6$, $x_0 = 1$;

Г) $y = \sqrt{x + 5}$, $x_0 = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы найти значение производной функции $y = \frac{2}{x} - 1$ в точке $x_0 = 4$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'(x)$.

Запишем функцию в виде $y = 2x^{-1} - 1$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$y' = (2x^{-1} - 1)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0 = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

2. Подставить значение $x_0 = 4$ в найденное выражение для производной:

$y'(4) = -\frac{2}{4^2} = -\frac{2}{16}$.

3. Упростить полученное выражение:

$-\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

---

б) Чтобы найти значение производной функции $y = \sqrt{x} + 4$ в точке $x_0 = 9$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'(x)$.

Запишем функцию в виде $y = x^{1/2} + 4$. Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$y' = (x^{1/2} + 4)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Подставить значение $x_0 = 9$ в выражение для производной:

$y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3}$.

3. Вычислить результат:

$\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

---

в) Чтобы найти значение производной функции $y = \frac{8}{x} - 6$ в точке $x_0 = 1$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'(x)$.

Запишем функцию в виде $y = 8x^{-1} - 6$. Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$y' = (8x^{-1} - 6)' = 8 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0 = -8x^{-2} = -\frac{8}{x^2}$.

2. Подставить значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$y'(1) = -\frac{8}{1^2} = -\frac{8}{1}$.

3. Вычислить результат:

$-8$.

Ответ: $-8$.

---

г) Чтобы найти значение производной функции $y = \sqrt{x} + 5$ в точке $x_0 = 4$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y'(x)$.

Запишем функцию в виде $y = x^{1/2} + 5$. Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$y' = (x^{1/2} + 5)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Подставить значение $x_0 = 4$ в выражение для производной:

$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2}$.

3. Вычислить результат:

$\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.