Номер 28.16, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.16, страница 100.

28.16 a) $y = (x^2 - 1)(x^4 + 2);$

б) $y = (x^3 + 1)\sqrt{x};$

В) $y = (x^2 + 3)(x^4 - 1);$

Г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2).$

а) $y = (x^2 - 1)(x^4 + 2)$

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^4 + 2$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$

$v'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x)(x^4 + 2) + (x^2 - 1)(4x^3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y' = 2x \cdot x^4 + 2x \cdot 2 + x^2 \cdot 4x^3 - 1 \cdot 4x^3$

$y' = 2x^5 + 4x + 4x^5 - 4x^3$

Приведем подобные слагаемые:

$y' = (2x^5 + 4x^5) - 4x^3 + 4x = 6x^5 - 4x^3 + 4x$

Ответ: $y' = 6x^5 - 4x^3 + 4x$

б) $y = (x^3 + 1)\sqrt{x}$

Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^3 + 1$ и $v(x) = \sqrt{x}$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим в формулу:

$y' = u'v + uv' = (3x^2)(\sqrt{x}) + (x^3 + 1)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$

Упростим первое слагаемое и раскроем скобки во втором:

$y' = 3x^2\sqrt{x} + \frac{x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$y' = \frac{3x^2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{6x^2 (\sqrt{x})^2 + x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x^2 \cdot x + x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{6x^3 + x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$

в) $y = (x^2 + 3)(x^4 - 1)$

Снова применяем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 + 3$ и $v(x) = x^4 - 1$.

Находим производные:

$u'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$

$v'(x) = (x^4 - 1)' = 4x^3$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (2x)(x^4 - 1) + (x^2 + 3)(4x^3)$

Раскрываем скобки:

$y' = 2x \cdot x^4 - 2x \cdot 1 + x^2 \cdot 4x^3 + 3 \cdot 4x^3$

$y' = 2x^5 - 2x + 4x^5 + 12x^3$

Приводим подобные слагаемые:

$y' = (2x^5 + 4x^5) + 12x^3 - 2x = 6x^5 + 12x^3 - 2x$

Ответ: $y' = 6x^5 + 12x^3 - 2x$

г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$

Воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = x^4 + 2$.

Их производные:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x^4 + 2) + (\sqrt{x})(4x^3)$

Упростим выражение:

$y' = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + 4x^3\sqrt{x}$

Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$y' = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + \frac{4x^3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{x^4 + 2 + 8x^3 (\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}} = \frac{x^4 + 2 + 8x^3 \cdot x}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{x^4 + 2 + 8x^4}{2\sqrt{x}} = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$