Номер 28.10, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.10, страница 99.

Найдите производную функции:

28.10 а) $y = x^2 - 7x;$

б) $y = \sqrt{x} - 9x^2;$

в) $y = 7x^2 + 3x;$

г) $y = \sqrt{x} - 5x^2.$

а) Для нахождения производной функции $y = x^2 - 7x$ воспользуемся правилами дифференцирования. Производная разности функций равна разности их производных: $(u-v)' = u' - v'$.
Найдём производную каждого слагаемого по отдельности, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
Производная первого слагаемого: $(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.
Производная второго слагаемого: $(7x)' = 7 \cdot x^{1-1} = 7 \cdot 1 = 7$.
Теперь вычтем производную второго слагаемого из производной первого:
$y' = (x^2 - 7x)' = (x^2)' - (7x)' = 2x - 7$.
Ответ: $y' = 2x - 7$.

б) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x} - 9x^2$ воспользуемся правилом производной разности $(u-v)' = u' - v'$.
Найдём производную каждого слагаемого. Для первого слагаемого используем формулу производной квадратного корня $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Для второго — формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Производная первого слагаемого: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная второго слагаемого: $(9x^2)' = 9 \cdot (x^2)' = 9 \cdot 2x = 18x$.
Объединяем результаты:
$y' = (\sqrt{x} - 9x^2)' = (\sqrt{x})' - (9x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 18x$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 18x$.

в) Для нахождения производной функции $y = 7x^2 + 3x$ используем правило производной суммы $(u+v)' = u' + v'$.
Найдём производные слагаемых по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:
Производная первого слагаемого: $(7x^2)' = 7 \cdot (x^2)' = 7 \cdot 2x = 14x$.
Производная второго слагаемого: $(3x)' = 3 \cdot x^{1-1} = 3 \cdot 1 = 3$.
Складываем полученные производные:
$y' = (7x^2 + 3x)' = (7x^2)' + (3x)' = 14x + 3$.
Ответ: $y' = 14x + 3$.

г) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x} - 5x^2$ используем правило производной разности $(u-v)' = u' - v'$.
Найдём производную каждого слагаемого. Используем формулы $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Производная первого слагаемого: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная второго слагаемого: $(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$.
Вычитаем производные:
$y' = (\sqrt{x} - 5x^2)' = (\sqrt{x})' - (5x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x$.