Номер 28.6, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.6, страница 99.

28.6 a) $h(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2;$

Б) $h(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{2};$

В) $h(x) = x^2, x_0 = -0,1;$

Г) $h(x) = \cos x, x_0 = \pi.$

а) Дана функция $h(x) = \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = -2$.
Задача состоит в нахождении значения производной функции в указанной точке, то есть $h'(x_0)$.
1. Найдём производную функции $h(x)$. Для этого представим функцию в виде степенной: $h(x) = x^{-1}$.
По правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$h'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$, подставив это значение в полученное выражение для производной:
$h'(-2) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) Дана функция $h(x) = \sin x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.
1. Найдём производную функции $h(x)$. Производная функции синус является стандартной и равна косинусу:
$h'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:
$h'(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2})$.
Функция косинус является четной, то есть $\cos(-a) = \cos(a)$, поэтому:
$h'(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: 0.

в) Дана функция $h(x) = x^2$ и точка $x_0 = -0,1$.
1. Найдём производную функции $h(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$h'(x) = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -0,1$:
$h'(-0,1) = 2 \cdot (-0,1) = -0,2$.
Ответ: -0,2.

г) Дана функция $h(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \pi$.
1. Найдём производную функции $h(x)$. Производная функции косинус является стандартной и равна минус синусу:
$h'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:
$h'(\pi) = -\sin(\pi) = -0 = 0$.
Ответ: 0.