Номер 28.1, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.1, страница 98.

Найдите производную функции:

28.1 а) $y = 7x + 4;$

б) $y = x^2;$

в) $y = -6x + 1;$

г) $y = \frac{1}{x}.$

а) Чтобы найти производную функции $y = 7x + 4$, используем основные правила дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных, а константу можно выносить за знак производной.
Правила: $(u+v)' = u' + v'$, $(c \cdot x)' = c$ и $(c)' = 0$, где $c$ - константа.
$y' = (7x + 4)' = (7x)' + (4)'$
Производная от $7x$ равна $7$, а производная от константы $4$ равна $0$.
$y' = 7 + 0 = 7$.
Ответ: $y' = 7$

б) Для нахождения производной функции $y = x^2$ используем формулу производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
В данном случае показатель степени $n=2$.
$y' = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x^1 = 2x$.
Ответ: $y' = 2x$

в) Для функции $y = -6x + 1$ применяем те же правила, что и в пункте а).
$y' = (-6x + 1)' = (-6x)' + (1)'$
Производная от $-6x$ равна $-6$, а производная от константы $1$ равна $0$.
$y' = -6 + 0 = -6$.
Ответ: $y' = -6$

г) Функцию $y = \frac{1}{x}$ можно представить в виде степенной функции $y = x^{-1}$.
Далее используем ту же формулу для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=-1$.
$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$