Номер 27.11, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §27. Определение производной - номер 27.11, страница 97.

Условие.

27.11 Функция $y = \varphi(x)$ задана своим графиком (рис. 40). Укажите несколько значений аргумента, для которых:

а) $\varphi'(x) > 0$;

б) $\varphi'(x) < 0$ и $x > 0$;

в) $\varphi'(x) < 0$;

г) $\varphi'(x) > 0$ и $x < 0$.

Рис. 40

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $φ'(x) > 0$
Геометрический смысл производной заключается в том, что если производная функции в точке положительна ($φ'(x) > 0$), то функция в этой точке возрастает. На графике мы ищем промежутки, где функция "идет вверх" при движении слева направо. Такими промежутками являются $(-8; -4)$ и $(1; 3)$. Мы можем выбрать любое значение аргумента $x$ из этих интервалов.
Ответ: например, $x = -7$, $x = -5$, $x = 2$.

б) $φ'(x) < 0$ и $x > 0$
Это двойное условие. Во-первых, производная должна быть отрицательной ($φ'(x) < 0$), что означает, что функция убывает. Во-вторых, аргумент должен быть положительным ($x > 0$). Сначала найдем все промежутки убывания функции: это $(-∞; -8)$, $(-4; 1)$ и $(3; +∞)$. Теперь из этих промежутков выберем те, где $x > 0$. Это будут части исходных промежутков: $(0; 1)$ и $(3; +∞)$. Выберем несколько значений аргумента из полученных интервалов.
Ответ: например, $x = 0.5$, $x = 4$, $x = 5$.

в) $φ'(x) < 0$
Условие $φ'(x) < 0$ означает, что функция $y = φ(x)$ убывает. На графике мы ищем промежутки, где функция "идет вниз" при движении слева направо. Такими промежутками являются $(-∞; -8)$, $(-4; 1)$ и $(3; +∞)$. Выберем по одному значению из каждого видимого на графике промежутка убывания.
Ответ: например, $x = -9$, $x = 0$, $x = 4$.

г) $φ'(x) > 0$ и $x < 0$
Это также двойное условие. Функция должна возрастать ($φ'(x) > 0$), и при этом аргумент должен быть отрицательным ($x < 0$). Промежутки возрастания функции: $(-8; -4)$ и $(1; 3)$. Теперь выберем из них тот, где все значения $x$ отрицательны. Условию $x < 0$ удовлетворяет только промежуток $(-8; -4)$. Выберем несколько значений аргумента из этого интервала.
Ответ: например, $x = -7$, $x = -6$, $x = -5$.