Номер 27.8, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§27. Определение производной. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 27.8, страница 96.

27.8 Функция $y = f(x)$ задана своим графиком. Определите значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$, если график функции изображён:

а) на рис. 35;

б) на рис. 36;

в) на рис. 37;

г) на рис. 38.

Puc. 35

Puc. 36

Puc. 37

Puc. 38

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла $\alpha$, который образует касательная к графику функции в этой точке с положительным направлением оси абсцисс. Формула: $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

а) на рис. 35;

В точке $x_1$ касательная образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha_1 = 60^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_1) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

В точке $x_2$ касательная образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha_2 = 45^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_2) = \tan(45^\circ) = 1$.

Ответ: $f'(x_1) = \sqrt{3}$, $f'(x_2) = 1$.

б) на рис. 36;

В точке $x_1$ касательная образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha_1 = 30^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_1) = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Точка $x_2$ является точкой локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, поэтому угол ее наклона к оси $x$ равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $f'(x_2) = 0$.

в) на рис. 37;

Точка $x_1$ является точкой локального минимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, поэтому угол ее наклона к оси $x$ равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

В точке $x_2$ касательная образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha_2 = 150^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_2) = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) на рис. 38;

Точка $x_1$ является точкой локального максимума. Касательная в этой точке горизонтальна, угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной:

$f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

Точка $x_2$ является точкой локального минимума. Касательная в этой точке также горизонтальна, угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной:

$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = 0$.