Номер 27.3, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§27. Определение производной. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 27.3, страница 95.

27.3 Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s = s(t)$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени $t$, если:

а) $s(t) = 4t + 1$;

б) $s(t) = 6t - 2$;

в) $s(t) = 3t + 2$;

г) $s(t) = 5t - 1$.

Мгновенная скорость движения точки $v(t)$ — это производная от функции, описывающей закон движения (отклонение) $s(t)$, по времени $t$. Это является физическим смыслом производной. Таким образом, чтобы найти мгновенную скорость, нужно найти производную $v(t) = s'(t)$.

Для решения задачи будем использовать основные правила дифференцирования:
1. Производная суммы/разности: $(f(t) \pm g(t))' = f'(t) \pm g'(t)$.
2. Производная произведения константы на функцию: $(C \cdot f(t))' = C \cdot f'(t)$.
3. Производная независимой переменной: $(t)' = 1$.
4. Производная константы: $(C)' = 0$.

а) Дан закон движения $s(t) = 4t + 1$.
Находим производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (4t + 1)' = (4t)' + (1)' = 4 \cdot 1 + 0 = 4$.
Мгновенная скорость постоянна и равна 4 м/с.
Ответ: 4 м/с.

б) Дан закон движения $s(t) = 6t - 2$.
Находим производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (6t - 2)' = (6t)' - (2)' = 6 \cdot 1 - 0 = 6$.
Мгновенная скорость постоянна и равна 6 м/с.
Ответ: 6 м/с.

в) Дан закон движения $s(t) = 3t + 2$.
Находим производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (3t + 2)' = (3t)' + (2)' = 3 \cdot 1 + 0 = 3$.
Мгновенная скорость постоянна и равна 3 м/с.
Ответ: 3 м/с.

г) Дан закон движения $s(t) = 5t - 1$.
Находим производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (5t - 1)' = (5t)' - (1)' = 5 \cdot 1 - 0 = 5$.
Мгновенная скорость постоянна и равна 5 м/с.
Ответ: 5 м/с.