Номер 27.9, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §27. Определение производной - номер 27.9, страница 97.

Условие.

27.9 Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рис. 39). Укажите любые два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, при которых:

а) $f'(x_1) > 0; f'(x_2) > 0;$

б) $f'(x_1) < 0; f'(x_2) > 0;$

в) $f'(x_1) < 0; f'(x_2) < 0;$

г) $f'(x_1) > 0; f'(x_2) < 0.$

Рис. 39

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Знак производной функции $f'(x)$ в некоторой точке связан с поведением самой функции $f(x)$ в этой точке:

• Если производная положительна, $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ возрастает.
• Если производная отрицательна, $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ убывает.

Анализируя предоставленный график функции $y = f(x)$, мы можем определить интервалы возрастания и убывания:

1. Функция возрастает (график идет вверх) на интервале $x \in (-3, 3)$. На этом интервале $f'(x) > 0$.
2. Функция убывает (график идет вниз) на интервалах $x \in (-\infty, -3)$ и $x \in (3, \infty)$. На этих интервалах $f'(x) < 0$.
3. В точках $x=-3$ и $x=3$ находятся точки экстремума (минимум и максимум), где касательная к графику горизонтальна, а производная равна нулю: $f'(-3)=0$ и $f'(3)=0$.

Основываясь на этом анализе, подберем требуемые значения $x_1$ и $x_2$.

а) $f'(x_1) > 0; f'(x_2) > 0$

Требуется найти два значения аргумента, для которых производная положительна. Это соответствует интервалу возрастания функции, то есть $x \in (-3, 3)$. Мы можем выбрать любые два различных числа из этого интервала.
Например, возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Оба значения лежат в интервале $(-3, 3)$, следовательно, $f'(-1) > 0$ и $f'(1) > 0$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

б) $f'(x_1) < 0; f'(x_2) > 0$

Нужно найти одно значение $x_1$, где производная отрицательна (функция убывает), и одно значение $x_2$, где производная положительна (функция возрастает).
Выберем $x_1$ из одного из интервалов убывания, например, из $(-\infty, -3)$. Пусть $x_1 = -4$. Тогда $f'(-4) < 0$.
Выберем $x_2$ из интервала возрастания $(-3, 3)$. Пусть $x_2 = 2$. Тогда $f'(2) > 0$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 2$.

в) $f'(x_1) < 0; f'(x_2) < 0$

Требуется найти два значения аргумента, для которых производная отрицательна. Это соответствует интервалам убывания функции: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. Можно выбрать два значения из одного интервала убывания или по одному из каждого.
Возьмем по одному значению из каждого интервала. Пусть $x_1 = -5$ (из $(-\infty, -3)$) и $x_2 = 5$ (из $(3, \infty)$). В обеих этих точках производная будет отрицательной.
Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 5$.

г) $f'(x_1) > 0; f'(x_2) < 0$

Нужно найти одно значение $x_1$, где производная положительна (функция возрастает), и одно значение $x_2$, где производная отрицательна (функция убывает).
Выберем $x_1$ из интервала возрастания $(-3, 3)$. Пусть $x_1 = 0$. Тогда $f'(0) > 0$.
Выберем $x_2$ из одного из интервалов убывания, например, из $(3, \infty)$. Пусть $x_2 = 4$. Тогда $f'(4) < 0$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4$.