Номер 27.14, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§27. Определение производной. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 27.14, страница 98.

27.14 a) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 2;$

Б) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -1;$

В) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 5;$

Г) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -0,5.$

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ используется формула:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче функция $f(x) = \frac{1}{x}$.

Сначала найдем производную этой функции. Запишем функцию в виде $f(x) = x^{-1}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Теперь мы можем найти уравнения касательных для каждого случая.

а) Для $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 2$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = \frac{1}{2}$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$

3. Составим уравнение касательной, подставив найденные значения:

$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$

$y = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{4})(x - 2)$

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}x + \frac{2}{4}$

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{4}x + 1$

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + 1$.

б) Для $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -1$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{1}{-1} = -1$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(x_0) = f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$

3. Составим уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = -1 + (-1)(x + 1)$

$y = -1 - x - 1$

$y = -x - 2$

Ответ: $y = -x - 2$.

в) Для $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 5$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 5$:

$f(x_0) = f(5) = \frac{1}{5}$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 5$:

$f'(x_0) = f'(5) = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}$

3. Составим уравнение касательной:

$y = f(5) + f'(5)(x - 5)$

$y = \frac{1}{5} + (-\frac{1}{25})(x - 5)$

$y = \frac{1}{5} - \frac{1}{25}x + \frac{5}{25}$

$y = \frac{1}{5} - \frac{1}{25}x + \frac{1}{5}$

$y = -\frac{1}{25}x + \frac{2}{5}$

Ответ: $y = -\frac{1}{25}x + \frac{2}{5}$.

г) Для $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -0,5$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -0,5$:

$f(x_0) = f(-0,5) = \frac{1}{-0,5} = -2$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -0,5$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = -\frac{1}{(-0,5)^2} = -\frac{1}{0,25} = -4$

3. Составим уравнение касательной:

$y = f(-0,5) + f'(-0,5)(x - (-0,5))$

$y = -2 + (-4)(x + 0,5)$

$y = -2 - 4x - 4 \cdot 0,5$

$y = -2 - 4x - 2$

$y = -4x - 4$

Ответ: $y = -4x - 4$.