Номер 28.4, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §28. Вычисление производных - номер 28.4, страница 98.

Условие.

28.4 a) $g(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{2}$;$

б) $g(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;$

в) $g(x) = \cos x, x_0 = -3\pi$;$

г) $g(x) = \sin x, x_0 = 0$.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Уравнение касательной к графику функции $y=g(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $g(x) = \sin x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$g(x_0) = g(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$g'(x_0) = g'(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.

4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной:

$y = -1 + 0 \cdot (x - (-\frac{\pi}{2}))$

$y = -1 + 0 \cdot (x + \frac{\pi}{2})$

$y = -1$.

Ответ: $y = -1$.

---

б)

Дана функция $g(x) = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$g(x_0) = g(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$g'(x_0) = g'(\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot (x - \frac{\pi}{6})$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

---

в)

Дана функция $g(x) = \cos x$ и точка $x_0 = -3\pi$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$g(x_0) = g(-3\pi) = \cos(-3\pi) = \cos(3\pi) = -1$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$g'(x_0) = g'(-3\pi) = -\sin(-3\pi) = \sin(3\pi) = 0$.

4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$:

$y = -1 + 0 \cdot (x - (-3\pi))$

$y = -1 + 0 \cdot (x + 3\pi)$

$y = -1$.

Ответ: $y = -1$.

---

г)

Дана функция $g(x) = \sin x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$g(x_0) = g(0) = \sin(0) = 0$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$g'(x_0) = g'(0) = \cos(0) = 1$.

4. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной $y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = x$.

Ответ: $y = x$.