Номер 28.9, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.9, страница 99.

28.9 Укажите, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

а) $f'(x) = 2x$;

б) $f'(x) = \cos x$;

в) $f'(x) = 3$;

г) $f'(x) = -\sin x$.

Задача состоит в нахождении функции по ее производной. Эта операция называется интегрированием. Для нахождения функции $y = f(x)$ по известной производной $f'(x)$ необходимо найти первообразную, то есть вычислить неопределенный интеграл. Общий вид всех первообразных для функции $f'(x)$ записывается как $f(x) = \int f'(x) \,dx = F(x) + C$, где $F'(x) = f'(x)$, а $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

а) Дана производная $f'(x) = 2x$.
Для нахождения функции $f(x)$ проинтегрируем данное выражение по $x$, используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$f(x) = \int 2x \,dx = 2 \int x^1 \,dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$.
Таким образом, искомая функция может быть задана формулой $y = x^2 + C$, где $C$ — любое действительное число.
Ответ: $y = x^2 + C$.

б) Дана производная $f'(x) = \cos x$.
Интегрируем, чтобы найти $f(x)$. Используем табличный интеграл от косинуса:
$f(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
Функция может быть задана формулой $y = \sin x + C$, где $C$ — любое действительное число.
Ответ: $y = \sin x + C$.

в) Дана производная $f'(x) = 3$.
Интегрируем константу, чтобы найти $f(x)$:
$f(x) = \int 3 \,dx = 3x + C$.
Функция может быть задана формулой $y = 3x + C$, где $C$ — любое действительное число.
Ответ: $y = 3x + C$.

г) Дана производная $f'(x) = -\sin x$.
Интегрируем, чтобы найти $f(x)$, используя табличный интеграл от синуса:
$f(x) = \int (-\sin x) \,dx = - \int \sin x \,dx = -(-\cos x) + C = \cos x + C$.
Функция может быть задана формулой $y = \cos x + C$, где $C$ — любое действительное число.
Ответ: $y = \cos x + C$.