Номер 28.15, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.15, страница 100.

28.15 a) $y = x^3 + 2x^5$;

б) $y = x^4 - x^9$;

В) $y = x^3 + 4x^{100}$;

Г) $y = x^4 - 7x^9$.

а) Дана функция $y = x^3 + 2x^5$.

Для нахождения производной этой функции, мы используем правило дифференцирования суммы и правило для степенной функции.

Правило суммы: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Правило степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Применяя эти правила, дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

Производная первого слагаемого: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Производная второго слагаемого (с использованием правила для константы $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$): $(2x^5)' = 2 \cdot (x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$.

Складывая результаты, получаем производную всей функции:

$y' = (x^3)' + (2x^5)' = 3x^2 + 10x^4$.

Ответ: $y' = 3x^2 + 10x^4$.

б) Дана функция $y = x^4 - x^9$.

Для нахождения производной этой функции, мы используем правило дифференцирования разности и правило для степенной функции.

Правило разности: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

Правило степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Применяя эти правила, дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

Производная первого слагаемого: $(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

Производная второго слагаемого: $(x^9)' = 9x^{9-1} = 9x^8$.

Вычитая вторую производную из первой, получаем производную всей функции:

$y' = (x^4)' - (x^9)' = 4x^3 - 9x^8$.

Ответ: $y' = 4x^3 - 9x^8$.

в) Дана функция $y = x^3 + 4x^{100}$.

Используем те же правила, что и в пункте а): правило дифференцирования суммы и правило для степенной функции.

Дифференцируем каждое слагаемое:

Производная первого слагаемого: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Производная второго слагаемого: $(4x^{100})' = 4 \cdot (x^{100})' = 4 \cdot 100x^{100-1} = 400x^{99}$.

Складывая результаты, получаем производную всей функции:

$y' = (x^3)' + (4x^{100})' = 3x^2 + 400x^{99}$.

Ответ: $y' = 3x^2 + 400x^{99}$.

г) Дана функция $y = x^4 - 7x^9$.

Используем те же правила, что и в пункте б): правило дифференцирования разности и правило для степенной функции.

Дифференцируем каждое слагаемое:

Производная первого слагаемого: $(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

Производная второго слагаемого: $(7x^9)' = 7 \cdot (x^9)' = 7 \cdot 9x^{9-1} = 63x^8$.

Вычитая вторую производную из первой, получаем производную всей функции:

$y' = (x^4)' - (7x^9)' = 4x^3 - 63x^8$.

Ответ: $y' = 4x^3 - 63x^8$.