Номер 28.8, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.8, страница 99.

28.8 a) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

б) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{4};$

В) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

Г) $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{6}.$

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, используется следующая формула:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — это значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — это значение производной функции в той же точке.

Применим эту формулу для решения каждой из задач.

---

а) Дано: $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})$.

5. Упрощаем уравнение:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$.

---

б) Дано: $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(-\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x + \frac{\pi}{4})$.

5. Упрощаем уравнение:

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{2}\pi}{8}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{2}\pi}{8}$.

---

в) Дано: $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$.

5. Упрощаем уравнение:

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{3 + \sqrt{3}\pi}{6}$.

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{3 + \sqrt{3}\pi}{6}$.

---

г) Дано: $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(x - (-\frac{\pi}{6})) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(x + \frac{\pi}{6})$.

5. Упрощаем уравнение:

$y = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi - 6}{12}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi - 6}{12}$.