Номер 28.3, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.3, страница 98.

28.3 Найдите значение производной функции $y = g(x)$ в точке $x_0$, если:

а) $g(x) = \sqrt{x}, x_0 = 4;$

б) $g(x) = x^2, x_0 = -7;$

в) $g(x) = -3x - 11, x_0 = -3;$

г) $g(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0,5.$

а) Для функции $g(x) = \sqrt{x}$ в точке $x_0 = 4$.

Сначала найдем производную функции $g(x)$. Для этого представим корень в виде степени: $g(x) = x^{\frac{1}{2}}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$g'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 4$ в выражение для производной:

$g'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Для функции $g(x) = x^2$ в точке $x_0 = -7$.

Найдем производную функции $g(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$g'(x) = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Подставим значение $x_0 = -7$ в выражение для производной:

$g'(-7) = 2 \cdot (-7) = -14$.

Ответ: $-14$.

в) Для функции $g(x) = -3x - 11$ в точке $x_0 = -3$.

Найдем производную линейной функции $g(x)$. Используем правила дифференцирования: производная от $x$ равна 1, а производная от константы равна 0.

$g'(x) = (-3x - 11)' = (-3x)' - (11)' = -3 \cdot (x)' - 0 = -3 \cdot 1 = -3$.

Производная данной функции является константой, то есть ее значение не зависит от $x$. Таким образом, в точке $x_0 = -3$ значение производной также равно -3.

$g'(-3) = -3$.

Ответ: $-3$.

г) Для функции $g(x) = \frac{1}{x}$ в точке $x_0 = 0,5$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степени: $g(x) = x^{-1}$.

Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$g'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,5$:

$g'(0,5) = -\frac{1}{(0,5)^2} = -\frac{1}{0,25} = -4$.

Ответ: $-4$.