Номер 28.23, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§28. Вычисление производных. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 28.23, страница 100.

28.23 Вычислите скорость изменения функции $y = g(x)$ в точке $x_0$:

а) $g(x) = x^3 + 2x, x_0 = 2;$

б) $g(x) = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x}, x_0 = 1;$

в) $g(x) = x^2 + 4\sqrt{x} - 4x, x_0 = 4;$

г) $g(x) = \frac{1}{x}(\frac{4}{x} - 2), x_0 = -0,5.$

а) Скорость изменения функции в точке $x_0$ равна значению ее производной в этой точке, то есть $g'(x_0)$. Найдем производную функции $g(x) = x^3 + 2x$. Используя правила дифференцирования суммы и степенной функции, получаем: $g'(x) = (x^3 + 2x)' = (x^3)' + (2x)' = 3x^2 + 2$. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $g'(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$.
Ответ: 14

б) Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки: $g(x) = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 1 \cdot \sqrt{x} = x + \sqrt{x}$. Для нахождения скорости изменения функции найдем ее производную. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$: $g'(x) = (x + x^{1/2})' = (x)' + (x^{1/2})' = 1 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $g'(1) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5

в) Скорость изменения функции равна значению ее производной. Найдем производную функции $g(x) = x^2 + 4\sqrt{x} - 4x$. $g'(x) = (x^2 + 4\sqrt{x} - 4x)' = (x^2)' + (4x^{1/2})' - (4x)' = 2x + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 4 = 2x + \frac{2}{\sqrt{x}} - 4$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$: $g'(4) = 2 \cdot 4 + \frac{2}{\sqrt{4}} - 4 = 8 + \frac{2}{2} - 4 = 8 + 1 - 4 = 5$.
Ответ: 5

г) Сначала упростим выражение для функции: $g(x) = \frac{1}{x}(\frac{4}{x} - 2) = \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x}$. Для удобства дифференцирования запишем функцию через степени: $g(x) = 4x^{-2} - 2x^{-1}$. Найдем производную: $g'(x) = (4x^{-2} - 2x^{-1})' = 4 \cdot (-2)x^{-3} - 2 \cdot (-1)x^{-2} = -8x^{-3} + 2x^{-2} = -\frac{8}{x^3} + \frac{2}{x^2}$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -0,5$: $g'(-0,5) = -\frac{8}{(-0,5)^3} + \frac{2}{(-0,5)^2} = -\frac{8}{-0,125} + \frac{2}{0,25} = 64 + 8 = 72$.
Ответ: 72