Номер 29.20, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.20, страница 108.

29.20 В какой точке касательная к графику функции $y = x^2$ параллельна заданной прямой:

а) $y = 2x + 1;$

б) $y = -\frac{1}{2}x + 5;$

в) $y = -\frac{3}{4}x - 2;$

г) $y = -x + 5?$

а) Условие параллельности касательной к графику функции $y = x^2$ и заданной прямой $y = 2x + 1$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент $k$ для прямой $y = kx + b$ — это коэффициент при $x$. Для прямой $y = 2x + 1$ угловой коэффициент $k = 2$.
Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную функции $y = x^2$:
$y' = (x^2)' = 2x$.
Следовательно, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $y'(x_0) = 2x_0$.
Приравняем угловые коэффициенты касательной и прямой:
$2x_0 = 2$
$x_0 = 1$
Теперь найдем ординату точки касания, подставив значение $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = x_0^2 = 1^2 = 1$.
Таким образом, искомая точка касания — $(1, 1)$.
Ответ: $(1, 1)$.

б) Дана прямая $y = -\frac{1}{2}x + 5$. Ее угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$.
Производная функции $y = x^2$ равна $y' = 2x$.
Приравниваем угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой:
$2x_0 = -\frac{1}{2}$
$x_0 = -\frac{1}{4}$
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = x_0^2 = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.
Искомая точка касания — $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$.
Ответ: $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$.

в) Дана прямая $y = -\frac{3}{4}x - 2$. Ее угловой коэффициент $k = -\frac{3}{4}$.
Производная функции $y = x^2$ равна $y' = 2x$.
Приравниваем угловые коэффициенты:
$2x_0 = -\frac{3}{4}$
$x_0 = -\frac{3}{8}$
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = x_0^2 = \left(-\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{64}$.
Искомая точка касания — $(-\frac{3}{8}, \frac{9}{64})$.
Ответ: $(-\frac{3}{8}, \frac{9}{64})$.

г) Дана прямая $y = -x + 5$. Ее угловой коэффициент $k = -1$.
Производная функции $y = x^2$ равна $y' = 2x$.
Приравниваем угловые коэффициенты:
$2x_0 = -1$
$x_0 = -\frac{1}{2}$
Найдем ординату точки касания:
$y_0 = x_0^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
Искомая точка касания — $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.