Номер 29.23, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.23, страница 108.

29.23 Напишите уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{x^3}{3} - 2$, которые параллельны заданной прямой:

а) $y = x - 3;$

б) $y = 9x - 5.$

Чтобы найти уравнения касательных к графику функции $f(x)$, которые параллельны заданной прямой $y = kx + b$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Приравнять производную к угловому коэффициенту $k$ заданной прямой, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$. Условие параллельности прямых — равенство их угловых коэффициентов, а угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0)$.
3. Найти ординаты точек касания $y_0 = f(x_0)$.
4. Подставить найденные значения $x_0$, $y_0$ и $k$ в уравнение касательной: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Дана функция $y = f(x) = \frac{x^3}{3} - 2$.

1. Найдём её производную:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - 2\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = x^2$.

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен $f'(x_0) = x_0^2$.

а) Ищем касательные, параллельные прямой $y = x - 3$.

2. Угловой коэффициент данной прямой $k = 1$. Приравниваем производную к этому значению, чтобы найти $x_0$:

$f'(x_0) = 1 \implies x_0^2 = 1$.

Отсюда получаем две абсциссы точек касания: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

3. Найдём соответствующие ординаты и уравнения касательных для каждой точки.

Для $x_0 = 1$:

Ордината точки касания: $y_0 = f(1) = \frac{1^3}{3} - 2 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$.

4. Уравнение касательной:

$y - \left(-\frac{5}{3}\right) = 1(x - 1)$

$y + \frac{5}{3} = x - 1$

$y = x - 1 - \frac{5}{3}$

$y = x - \frac{8}{3}$

Для $x_0 = -1$:

Ордината точки касания: $y_0 = f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 2 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}$.

4. Уравнение касательной:

$y - \left(-\frac{7}{3}\right) = 1(x - (-1))$

$y + \frac{7}{3} = x + 1$

$y = x + 1 - \frac{7}{3}$

$y = x - \frac{4}{3}$

Ответ: $y = x - \frac{8}{3}$ и $y = x - \frac{4}{3}$.

б) Ищем касательные, параллельные прямой $y = 9x - 5$.

2. Угловой коэффициент данной прямой $k = 9$. Приравниваем производную к этому значению, чтобы найти $x_0$:

$f'(x_0) = 9 \implies x_0^2 = 9$.

Отсюда получаем две абсциссы точек касания: $x_0 = 3$ и $x_0 = -3$.

3. Найдём соответствующие ординаты и уравнения касательных для каждой точки.

Для $x_0 = 3$:

Ордината точки касания: $y_0 = f(3) = \frac{3^3}{3} - 2 = \frac{27}{3} - 2 = 9 - 2 = 7$.

4. Уравнение касательной:

$y - 7 = 9(x - 3)$

$y - 7 = 9x - 27$

$y = 9x - 20$

Для $x_0 = -3$:

Ордината точки касания: $y_0 = f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - 2 = \frac{-27}{3} - 2 = -9 - 2 = -11$.

4. Уравнение касательной:

$y - (-11) = 9(x - (-3))$

$y + 11 = 9(x + 3)$

$y + 11 = 9x + 27$

$y = 9x + 16$

Ответ: $y = 9x - 20$ и $y = 9x + 16$.