Номер 29.28, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.28, страница 109.

29.28 Проведите касательную к графику функции $y = x^2 + 1$, проходящую через точку A, не принадлежащую этому графику, если:

а) A(-1; 2);

б) A(0; 0);

в) A(0; -3);

г) A(-1; 1).

Для решения задачи найдем уравнение касательной к графику функции $y = x^2 + 1$ в общем виде. Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда ордината этой точки равна $y_0 = x_0^2 + 1$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В нашем случае $f(x) = x^2 + 1$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Значение производной в точке $x_0$ равно $f'(x_0) = 2x_0$.

Подставим все в уравнение касательной:

$y = (x_0^2 + 1) + 2x_0(x - x_0)$

$y = x_0^2 + 1 + 2x_0x - 2x_0^2$

$y = 2x_0x - x_0^2 + 1$

Это общее уравнение касательной к параболе $y = x^2 + 1$ в точке с абсциссой $x_0$.

По условию, касательная проходит через точку A$(x_A, y_A)$. Это означает, что координаты точки А должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим их в уравнение, чтобы найти $x_0$:

$y_A = 2x_0x_A - x_0^2 + 1$

Преобразуем это выражение в квадратное уравнение относительно $x_0$:

$x_0^2 - 2x_A x_0 + y_A - 1 = 0$

Теперь решим это уравнение для каждого из заданных случаев.

а) A(-1; 2)

Подставим координаты точки А(-1; 2) в полученное уравнение, где $x_A = -1$ и $y_A = 2$:

$x_0^2 - 2(-1)x_0 + 2 - 1 = 0$

$x_0^2 + 2x_0 + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(x_0 + 1)^2 = 0$.

Решением является $x_0 = -1$. Это означает, что существует только одна касательная, и точка A(-1; 2) является точкой касания (проверка: $y(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$, точка А лежит на графике).

Найдем уравнение этой касательной, подставив $x_0 = -1$ в общее уравнение касательной:

$y = 2(-1)x - (-1)^2 + 1 = -2x - 1 + 1 = -2x$

Ответ: $y = -2x$.

б) A(0; 0)

Подставим координаты точки А(0; 0) в уравнение для $x_0$, где $x_A = 0$ и $y_A = 0$:

$x_0^2 - 2(0)x_0 + 0 - 1 = 0$

$x_0^2 - 1 = 0$

Отсюда $x_0 = 1$ или $x_0 = -1$. Значит, через точку А можно провести две касательные к графику.

1. При $x_0 = 1$ уравнение касательной:

$y = 2(1)x - 1^2 + 1 = 2x$

2. При $x_0 = -1$ уравнение касательной:

$y = 2(-1)x - (-1)^2 + 1 = -2x - 1 + 1 = -2x$

Ответ: $y = 2x$ и $y = -2x$.

в) A(0; -3)

Подставим координаты точки А(0; -3) в уравнение для $x_0$, где $x_A = 0$ и $y_A = -3$:

$x_0^2 - 2(0)x_0 + (-3) - 1 = 0$

$x_0^2 - 4 = 0$

Отсюда $x_0 = 2$ или $x_0 = -2$. Существуют две касательные.

1. При $x_0 = 2$ уравнение касательной:

$y = 2(2)x - 2^2 + 1 = 4x - 4 + 1 = 4x - 3$

2. При $x_0 = -2$ уравнение касательной:

$y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$

Ответ: $y = 4x - 3$ и $y = -4x - 3$.

г) A(-1; 1)

Подставим координаты точки А(-1; 1) в уравнение для $x_0$, где $x_A = -1$ и $y_A = 1$:

$x_0^2 - 2(-1)x_0 + 1 - 1 = 0$

$x_0^2 + 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 + 2) = 0$

Отсюда $x_0 = 0$ или $x_0 = -2$. Существуют две касательные.

1. При $x_0 = 0$ уравнение касательной:

$y = 2(0)x - 0^2 + 1 = 1$

2. При $x_0 = -2$ уравнение касательной:

$y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$

Ответ: $y = 1$ и $y = -4x - 3$.