Номер 29.35, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§29. Уравнение касательной к графику функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 29.35, страница 110.

29.35 а) На оси $y$ взята точка $B$, из неё проведены касательные к графику функции $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $90^{\circ}$. Найдите координаты точки $B$.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = 0,5x^2 - 2,5$, которые пересекаются под углом $90^{\circ}$ в точке, лежащей на оси $y$.

а) Пусть точка $B$ имеет координаты $(0; b)$, так как она лежит на оси $y$. Дана функция $y = f(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$. Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (3 - \frac{1}{2}x^2)' = -x$. Тогда уравнение касательной в точке $x_0$ будет: $y = (3 - \frac{1}{2}x_0^2) + (-x_0)(x - x_0)$ $y = 3 - \frac{1}{2}x_0^2 - x_0x + x_0^2$ $y = -x_0x + 3 + \frac{1}{2}x_0^2$

Поскольку касательная проходит через точку $B(0; b)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x=0$ и $y=b$: $b = -x_0 \cdot 0 + 3 + \frac{1}{2}x_0^2$ $b = 3 + \frac{1}{2}x_0^2$

Это уравнение связывает координату точки $B$ с абсциссами точек касания. Из него можно выразить $x_0$: $\frac{1}{2}x_0^2 = b - 3$ $x_0^2 = 2(b - 3)$ $x_0 = \pm\sqrt{2(b - 3)}$

Таким образом, из точки $B$ можно провести две касательные к графику, точки касания которых имеют абсциссы $x_1 = \sqrt{2(b - 3)}$ и $x_2 = -\sqrt{2(b - 3)}$. Угловые коэффициенты (наклоны) этих касательных равны значениям производной в точках касания: $k_1 = f'(x_1) = -x_1 = -\sqrt{2(b - 3)}$ $k_2 = f'(x_2) = -x_2 = -(-\sqrt{2(b - 3)}) = \sqrt{2(b - 3)}$

По условию, касательные образуют угол $90^\circ$, то есть они перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых: произведение их угловых коэффициентов равно $-1$. $k_1 \cdot k_2 = -1$ $(-\sqrt{2(b - 3)}) \cdot (\sqrt{2(b - 3)}) = -1$ $-(2(b - 3)) = -1$ $2(b - 3) = 1$ $b - 3 = \frac{1}{2}$ $b = 3.5$

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(0; 3,5)$.

Ответ: $(0; 3,5)$

б) Эта задача является обратной к предыдущей. Нам нужно найти уравнения двух касательных к графику функции $y = f(x) = 0,5x^2 - 2,5$, которые пересекаются под углом $90^\circ$ в точке, лежащей на оси $y$.

Пусть точка пересечения касательных $B$ имеет координаты $(0; b)$. Найдем производную функции: $f'(x) = (0,5x^2 - 2,5)' = x$. Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ $y = (0,5x_0^2 - 2,5) + x_0(x - x_0)$ $y = 0,5x_0^2 - 2,5 + x_0x - x_0^2$ $y = x_0x - 0,5x_0^2 - 2,5$

Касательная проходит через точку $B(0; b)$. Подставим ее координаты в уравнение: $b = x_0 \cdot 0 - 0,5x_0^2 - 2,5$ $b = -0,5x_0^2 - 2,5$

Выразим $x_0$ из этого уравнения: $0,5x_0^2 = -b - 2,5$ $x_0^2 = -2(b + 2,5)$ $x_0 = \pm\sqrt{-2(b + 2,5)}$

Мы имеем две точки касания с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Угловые коэффициенты касательных равны: $k_1 = f'(x_1) = x_1$ $k_2 = f'(x_2) = x_2$

По условию перпендикулярности $k_1 \cdot k_2 = -1$, следовательно, $x_1 \cdot x_2 = -1$. Используя выражения для $x_1$ и $x_2$ через $b$: $x_1 = \sqrt{-2(b + 2,5)}$ и $x_2 = -\sqrt{-2(b + 2,5)}$. Их произведение: $x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{-2(b + 2,5)}) \cdot (-\sqrt{-2(b + 2,5)}) = -(-2(b + 2,5)) = 2(b + 2,5)$.

Приравняем это выражение к $-1$: $2(b + 2,5) = -1$ $b + 2,5 = -0,5$ $b = -3$

Теперь, зная $b = -3$, найдем абсциссы точек касания: $x_0^2 = -2(-3 + 2,5) = -2(-0,5) = 1$. Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем уравнения касательных, подставив $x_1=1$ и $x_2=-1$ в общее уравнение касательной $y = x_0x - 0,5x_0^2 - 2,5$.

Для $x_0 = 1$: $y = 1 \cdot x - 0,5(1)^2 - 2,5 = x - 0,5 - 2,5 = x - 3$.

Для $x_0 = -1$: $y = (-1) \cdot x - 0,5(-1)^2 - 2,5 = -x - 0,5 - 2,5 = -x - 3$.

Искомые уравнения касательных: $y = x - 3$ и $y = -x - 3$.

Ответ: $y = x - 3$, $y = -x - 3$