Номер 30.2, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §30. Исследование функций на монотонность и экстремумы - номер 30.2, страница 111.

Условие.

30.2 Определите промежутки возрастания и убывания функции, гра- фик которой изображён на рисунке:

а) рис. 47;

б) рис. 48.

Рис. 47

Рис. 48

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, изображённой на рисунке 47, необходимо проанализировать её график. Функция возрастает на интервале, где её график направлен вверх при движении слева направо, и убывает, где график направлен вниз.

Промежутки возрастания:
Функция возрастает, когда её график движется вверх. Это происходит на двух участках:
1. От точки $x=a$ до точки локального максимума $x=b$. Промежуток возрастания: $[a, b]$.
2. От точки локального минимума $x=d$ до плюс бесконечности. Промежуток возрастания: $[d, +\infty)$.

Промежутки убывания:
Функция убывает, когда её график движется вниз. Это происходит на двух участках, разделённых вертикальной асимптотой в точке $x=c$, где функция не определена:
1. От точки локального максимума $x=b$ до асимптоты $x=c$. Промежуток убывания: $[b, c)$.
2. От асимптоты $x=c$ до точки локального минимума $x=d$. Промежуток убывания: $(c, d]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[a, b]$ и $[d, +\infty)$; функция убывает на промежутках $[b, c)$ и $(c, d]$.

б)

Для функции, график которой изображён на рисунке 48, определим промежутки монотонности аналогичным образом. Точки $x=b$ и $x=c$ являются точками локального максимума и минимума соответственно.

Промежутки возрастания:
График функции направлен вверх на следующих промежутках:
1. От $x=a$ до точки локального максимума $x=b$. Промежуток возрастания: $[a, b]$.
2. От точки локального минимума $x=c$ до плюс бесконечности. Промежуток возрастания: $[c, +\infty)$.

Промежутки убывания:
График функции направлен вниз на промежутке между точками экстремумов:
1. От точки локального максимума $x=b$ до точки локального минимума $x=c$. Промежуток убывания: $[b, c]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[a, b]$ и $[c, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[b, c]$.