Номер 30.9, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.9, страница 115.

30.9 Докажите, что заданная функция возрастает:

а) $y = \cos x + 2x;$

б) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4;$

в) $y = \sin x + x^3 + x;$

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8.$

Для доказательства того, что функция является возрастающей, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна (а в данном случае — строго положительна) на всей области определения.

а) $y = \cos x + 2x$

Находим производную данной функции:
$y' = (\cos x + 2x)' = (\cos x)' + (2x)' = -\sin x + 2$.
Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x$.
Следовательно, для производной $y' = 2 - \sin x$ можем найти ее наименьшее значение. Оно достигается, когда $\sin x$ принимает свое максимальное значение, равное 1:
$y'_{min} = 2 - 1 = 1$.
Таким образом, производная $y'(x) \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $y'(x) > 0$ на всей области определения, функция $y = \cos x + 2x$ является строго возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$

Находим производную данной функции:
$y' = (x^5 + 3x^3 + 7x + 4)' = 5x^4 + 9x^2 + 7$.
Проанализируем знак производной. Выражение для $y'$ состоит из трех слагаемых.
Поскольку $x$ возводится в четные степени, слагаемые $5x^4$ и $9x^2$ всегда неотрицательны: $5x^4 \ge 0$ и $9x^2 \ge 0$.
Третье слагаемое — это положительная константа 7.
Сумма двух неотрицательных чисел и положительного числа всегда положительна. Наименьшее значение производная принимает при $x=0$:
$y'_{min} = 5(0)^4 + 9(0)^2 + 7 = 7$.
Так как $y'(x) \ge 7 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$ является строго возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) $y = \sin x + x^3 + x$

Находим производную данной функции:
$y' = (\sin x + x^3 + x)' = \cos x + 3x^2 + 1$.
Оценим знак производной. Область значений функции косинус — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Слагаемое $3x^2$ всегда неотрицательно: $3x^2 \ge 0$.
Мы можем переписать производную так: $y' = (\cos x + 1) + 3x^2$.
Поскольку $\cos x \ge -1$, то $\cos x + 1 \ge 0$.
Производная $y'$ является суммой двух неотрицательных слагаемых, $(\cos x + 1)$ и $3x^2$, а значит $y' \ge 0$.
Равенство $y'=0$ было бы возможно, только если оба слагаемых равны нулю одновременно:
1) $3x^2 = 0 \implies x=0$.
2) $\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1$.
При $x=0$ значение $\cos(0) = 1$, что не удовлетворяет второму условию. Следовательно, эти два условия не могут выполняться одновременно, и производная никогда не обращается в ноль.
Таким образом, $y'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, и функция $y = \sin x + x^3 + x$ является строго возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8$

Находим производную данной функции:
$y' = (x^5 + 4x^3 + 8x - 8)' = 5x^4 + 12x^2 + 8$.
Проанализируем знак производной. Выражение для $y'$ состоит из трех слагаемых.
Слагаемые $5x^4$ и $12x^2$ всегда неотрицательны, так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.
Третье слагаемое — это положительная константа 8.
Сумма двух неотрицательных слагаемых и положительного слагаемого всегда будет положительной. Наименьшее значение производная принимает при $x=0$:
$y'_{min} = 5(0)^4 + 12(0)^2 + 8 = 8$.
Так как $y'(x) \ge 8 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8$ является строго возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.