Номер 30.13, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.13, страница 115.

30.13 a) $y = x^3 + 2x;$

б) $y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3;$

В) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40;$

Г) $y = -x^5 + 5x.$

а) $y = x^3 + 2x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$.

3. Находим критические точки, для этого приравниваем производную к нулю:

$3x^2 + 2 = 0$.

$3x^2 = -2$.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, у функции нет критических точек.

4. Определяем знак производной на всей области определения. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $y' = 3x^2 + 2 > 0$ для любого $x$.

5. Поскольку производная всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Точек экстремума (минимумов и максимумов) у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$; точек экстремума нет.

б) $y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (60 + 45x - 3x^2 - x^3)' = 45 - 6x - 3x^2$.

3. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-3x^2 - 6x + 45 = 0$.

Разделим обе части на -3:

$x^2 + 2x - 15 = 0$.

Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$.

4. Критические точки $x = -5$ и $x = 3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале. Графиком производной $y' = -3x^2 - 6x + 45$ является парабола с ветвями, направленными вниз.

• При $x \in (-\infty, -5)$ (например, $x = -6$): $y'(-6) = 45 - 6(-6) - 3(-6)^2 = 45 + 36 - 108 = -27 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-5, 3)$ (например, $x = 0$): $y'(0) = 45 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (3, +\infty)$ (например, $x = 4$): $y'(4) = 45 - 6(4) - 3(4)^2 = 45 - 24 - 48 = -27 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = -5$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-5) = 60 + 45(-5) - 3(-5)^2 - (-5)^3 = 60 - 225 - 75 + 125 = -115$.

$y_{max} = y(3) = 60 + 45(3) - 3(3)^2 - (3)^3 = 60 + 135 - 27 - 27 = 141$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-5, 3]$; убывает на промежутках $(-\infty, -5]$ и $[3, +\infty)$; $x_{min} = -5$, $y_{min} = -115$; $x_{max} = 3$, $y_{max} = 141$.

в) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (2x^3 - 3x^2 - 36x + 40)' = 6x^2 - 6x - 36$.

3. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$6x^2 - 6x - 36 = 0$.

Разделим обе части на 6:

$x^2 - x - 6 = 0$.

Решая квадратное уравнение, находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

4. Критические точки $x = -2$ и $x = 3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале. Графиком производной $y' = 6x^2 - 6x - 36$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

• При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x = -3$): $y'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-2, 3)$ (например, $x = 0$): $y'(0) = -36 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (3, +\infty)$ (например, $x = 4$): $y'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$y_{max} = y(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 40 = -16 - 12 + 72 + 40 = 84$.

$y_{min} = y(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 40 = 54 - 27 - 108 + 40 = -41$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[3, +\infty)$; убывает на промежутке $[-2, 3]$; $x_{max} = -2$, $y_{max} = 84$; $x_{min} = 3$, $y_{min} = -41$.

г) $y = -x^5 + 5x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (-x^5 + 5x)' = -5x^4 + 5$.

3. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-5x^4 + 5 = 0$.

$5x^4 = 5$.

$x^4 = 1$.

Корни этого уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

4. Критические точки $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной $y' = -5x^4 + 5 = -5(x^4-1)$ в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty, -1)$ (например, $x = -2$): $y'(-2) = -5(-2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -75 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1, 1)$ (например, $x = 0$): $y'(0) = -5(0)^4 + 5 = 5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1, +\infty)$ (например, $x = 2$): $y'(2) = -5(2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -75 < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-1) = -(-1)^5 + 5(-1) = 1 - 5 = -4$.

$y_{max} = y(1) = -(1)^5 + 5(1) = -1 + 5 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$; убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$; $x_{min} = -1$, $y_{min} = -4$; $x_{max} = 1$, $y_{max} = 4$.