Номер 30.20, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.20, страница 116.

30.20 a) $y = \frac{4x}{4x+1}$ возрастает на $(-\frac{1}{4}; +\infty)$;

б) $y = \frac{2x-13}{x-5}$ возрастает на $(-\infty; 5)$.

а)

Для того чтобы доказать, что функция $y = \frac{4x}{4x+1}$ возрастает на интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$, необходимо найти ее производную и определить знак этой производной на заданном интервале. Функция является возрастающей на интервале, если ее производная на этом интервале положительна.

Область определения функции задается условием $4x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{4}$. Заданный интервал $(-\frac{1}{4}; +\infty)$ входит в область определения функции.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = 4x$ и $v(x) = 4x + 1$. Тогда $u'(x) = 4$ и $v'(x) = 4$.

$y' = \left(\frac{4x}{4x+1}\right)' = \frac{(4x)'(4x+1) - 4x(4x+1)'}{(4x+1)^2} = \frac{4(4x+1) - 4x \cdot 4}{(4x+1)^2}$

$y' = \frac{16x + 4 - 16x}{(4x+1)^2} = \frac{4}{(4x+1)^2}$

Теперь определим знак производной $y' = \frac{4}{(4x+1)^2}$ на интервале $(-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Числитель дроби равен 4, что является положительным числом.

Знаменатель дроби $(4x+1)^2$ является квадратом выражения. Для любого $x$ из интервала $(-\frac{1}{4}; +\infty)$, выражение $4x+1$ строго больше нуля, следовательно, его квадрат $(4x+1)^2$ также будет строго больше нуля.

Поскольку производная представляет собой отношение положительного числа (4) к положительному числу ($(4x+1)^2$), то $y' > 0$ для всех $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$.

Так как производная функции положительна на всем указанном интервале, то функция $y = \frac{4x}{4x+1}$ возрастает на этом интервале, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Для того чтобы доказать, что функция $y = \frac{2x-13}{x-5}$ возрастает на интервале $(-\infty; 5)$, найдем ее производную и исследуем ее знак на этом интервале.

Область определения функции задается условием $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$. Заданный интервал $(-\infty; 5)$ входит в область определения функции.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = 2x-13$ и $v(x) = x-5$. Тогда $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.

$y' = \left(\frac{2x-13}{x-5}\right)' = \frac{(2x-13)'(x-5) - (2x-13)(x-5)'}{(x-5)^2} = \frac{2(x-5) - (2x-13) \cdot 1}{(x-5)^2}$

$y' = \frac{2x - 10 - 2x + 13}{(x-5)^2} = \frac{3}{(x-5)^2}$

Теперь определим знак производной $y' = \frac{3}{(x-5)^2}$ на интервале $(-\infty; 5)$.

Числитель дроби равен 3, что является положительным числом.

Знаменатель дроби $(x-5)^2$ является квадратом выражения. Для любого $x$ из интервала $(-\infty; 5)$, выражение $x-5$ не равно нулю, следовательно, его квадрат $(x-5)^2$ всегда будет строго больше нуля.

Таким образом, производная $y'$ является отношением положительного числа (3) к положительному числу ($(x-5)^2$), а значит, $y' > 0$ для всех $x \in (-\infty; 5)$.

Поскольку производная функции положительна на всем указанном интервале, то функция $y = \frac{2x-13}{x-5}$ возрастает на этом интервале, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.