Номер 30.25, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.25, страница 117.

30.25 a) $ax - \cos x;$

б) $y = 2\sin 2x - ax?$

a) Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых функция $y = ax - \cos x$ является монотонной на всей числовой прямой, необходимо исследовать ее производную. Функция является монотонной, если ее производная не меняет знак (т.е. всегда неотрицательна или всегда неположительна).

Найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (ax - \cos x)' = a - (-\sin x) = a + \sin x$.

1. Функция монотонно возрастает, если $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$a + \sin x \ge 0 \implies a \ge -\sin x$.

Это неравенство должно выполняться для всех значений $x$. Это возможно только если $a$ больше или равно максимальному значению выражения $-\sin x$. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, максимальное значение $-\sin x$ равно $1$. Таким образом, для монотонного возрастания функции необходимо, чтобы $a \ge 1$.

2. Функция монотонно убывает, если $y'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$a + \sin x \le 0 \implies a \le -\sin x$.

Это неравенство должно выполняться для всех значений $x$. Это возможно только если $a$ меньше или равно минимальному значению выражения $-\sin x$. Минимальное значение $-\sin x$ равно $-1$. Таким образом, для монотонного убывания функции необходимо, чтобы $a \le -1$.

Объединяя оба случая, получаем, что функция является монотонной, если $a \le -1$ или $a \ge 1$.

Ответ: функция является монотонной при $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = 2\sin 2x - ax$. Аналогично предыдущему пункту, найдем значения параметра $a$, при которых функция монотонна на всей числовой прямой, исследовав ее производную.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (2\sin 2x - ax)' = 2 \cdot (\cos 2x) \cdot (2x)' - a = 4\cos 2x - a$.

1. Функция монотонно возрастает, если $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$4\cos 2x - a \ge 0 \implies 4\cos 2x \ge a$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x$. Следовательно, $a$ должно быть меньше или равно минимальному значению выражения $4\cos 2x$. Область значений $\cos 2x$ — это $[-1, 1]$, поэтому минимальное значение $4\cos 2x$ равно $4 \cdot (-1) = -4$. Таким образом, $a \le -4$.

2. Функция монотонно убывает, если $y'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$4\cos 2x - a \le 0 \implies 4\cos 2x \le a$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x$. Следовательно, $a$ должно быть больше или равно максимальному значению выражения $4\cos 2x$. Максимальное значение $4\cos 2x$ равно $4 \cdot 1 = 4$. Таким образом, $a \ge 4$.

Объединяя оба случая, получаем, что функция является монотонной, если $a \le -4$ или $a \ge 4$.

Ответ: функция является монотонной при $a \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.