Номер 30.26, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §30. Исследование функций на монотонность и экстремумы - номер 30.26, страница 117.

Условие.

30.26 При каких значениях параметра b функция убывает на всей области определения:

а) $y = 7 + bx - x^2 - x^3;$

б) $y = -2\sqrt{x} + 3 + bx;$

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21;$

г) $y = -2bx + \sqrt{1 - x}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

а) $y = 7 + bx - x^2 - x^3$

Для того чтобы функция убывала на всей области определения, ее производная должна быть неположительной ($y' \le 0$) для всех $x$ из области определения.

1. Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Найдем производную функции: $y' = (7 + bx - x^2 - x^3)' = b - 2x - 3x^2$.

3. Условие убывания функции: $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. $-3x^2 - 2x + b \le 0$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. График функции $f(x) = -3x^2 - 2x + b$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -3, что меньше нуля). Чтобы парабола целиком находилась не выше оси абсцисс, она должна иметь не более одного корня. Это означает, что ее дискриминант $D$ должен быть неположительным ($D \le 0$).

4. Вычислим дискриминант квадратного трехчлена $-3x^2 - 2x + b$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot b = 4 + 12b$.

5. Решим неравенство $D \le 0$: $4 + 12b \le 0$ $12b \le -4$ $b \le -\frac{4}{12}$ $b \le -\frac{1}{3}$.

Таким образом, функция убывает на всей области определения при $b \le -1/3$.

Ответ: $b \in (-\infty; -1/3]$.

б) $y = -2\sqrt{x+3} + bx$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$. Область определения: $D(y) = [-3; +\infty)$.

2. Найдем производную функции для $x > -3$: $y' = (-2\sqrt{x+3} + bx)' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} + b = b - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

3. Функция убывает на своей области определения, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x$ из интервала $(-3; +\infty)$. $b - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \le 0$ $b \le \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x \in (-3; +\infty)$. Это возможно только в том случае, если $b$ меньше или равно наименьшему значению (инфимуму) функции $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ на данном интервале.

Проанализируем поведение функции $g(x)$. При $x \to +\infty$, знаменатель $\sqrt{x+3} \to +\infty$, следовательно, $g(x) \to 0$. При $x \to -3^+$, знаменатель $\sqrt{x+3} \to 0^+$, следовательно, $g(x) \to +\infty$. Функция $g(x)$ убывает на интервале $(-3; +\infty)$, и ее значения принадлежат интервалу $(0; +\infty)$. Наибольшая нижняя грань (инфимум) этой функции равна 0.

Следовательно, для выполнения условия $b \le g(x)$ для всех $x$ из области определения, необходимо, чтобы $b \le 0$. Проверим: если $b \le 0$, то $y' = b - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$. Так как $b \le 0$ и $\frac{1}{\sqrt{x+3}} > 0$, то $-\frac{1}{\sqrt{x+3}} < 0$. Сумма неположительного и отрицательного числа всегда отрицательна, то есть $y' < 0$. Условие выполняется.

Ответ: $b \in (-\infty; 0]$.

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21$

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Найдем производную: $y' = (x^3 + bx^2 + 3x + 21)' = 3x^2 + 2bx + 3$.

3. Условие убывания функции на всей области определения: $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. $3x^2 + 2bx + 3 \le 0$.

Выражение $f(x) = 3x^2 + 2bx + 3$ является квадратным трехчленом. Его график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше нуля). Парабола, ветви которой направлены вверх, не может быть неположительной на всей числовой оси, так как при $x \to \pm\infty$ ее значения стремятся к $+\infty$. Она всегда будет принимать положительные значения. Следовательно, не существует такого значения параметра $b$, при котором данное неравенство выполнялось бы для всех $x$.

Ответ: Таких значений $b$ не существует.

г) $y = -2bx + \sqrt{1-x}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0 \implies x \le 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1]$.

2. Найдем производную функции для $x < 1$: $y' = (-2bx + \sqrt{1-x})' = -2b + \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = -2b - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

3. Функция убывает на своей области определения, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x$ из интервала $(-\infty; 1)$. $-2b - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \le 0$.

Перепишем неравенство: $-2b \le \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x \in (-\infty; 1)$. Это возможно, если $-2b$ меньше или равно наименьшему значению (инфимуму) функции $g(x) = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ на этом интервале.

Проанализируем поведение функции $g(x)$. При $x \to 1^-$, знаменатель $2\sqrt{1-x} \to 0^+$, следовательно, $g(x) \to +\infty$. При $x \to -\infty$, знаменатель $2\sqrt{1-x} \to +\infty$, следовательно, $g(x) \to 0^+$. Значения функции $g(x)$ на интервале $(-\infty; 1)$ принадлежат интервалу $(0; +\infty)$. Наибольшая нижняя грань (инфимум) этой функции равна 0.

Следовательно, должно выполняться условие $-2b \le 0$. Разделив обе части на -2 и изменив знак неравенства, получим: $b \ge 0$.

Ответ: $b \in [0; +\infty)$.