Номер 30.32, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.32, страница 119.

30.32 Используя данные о производной $f'(x)$, приведённые в таблице, укажите:

а) промежутки возрастания функции $y = f(x)$;

б) промежутки убывания функции $y = f(x)$;

в) точки максимума функции $y = f(x)$;

г) точки минимума функции $y = f(x)$.

$x$: $(-\infty; 5)$, $-5$, $(-5; -2)$, $-2$, $(-2; 8)$, $8$, $(8; +\infty)$

$f'(x)$: $+$, $0$, $-$, $0$, $+$, $0$, $+$

а) промежутки возрастания функции $y = f(x)$

Функция $y = f(x)$ возрастает на тех промежутках, где её производная $f'(x)$ положительна ($f'(x) > 0$). Согласно данным из таблицы, производная положительна на интервалах $(-\infty; -5)$, $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$.

Поскольку функция является непрерывной в точках, где производная определена (включая точки, где $f'(x)=0$), мы можем объединить смежные интервалы возрастания. На интервалах $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$ производная положительна, а в точке $x=8$ она равна нулю. Это означает, что функция не убывает и является возрастающей на всем промежутке $[-2; +\infty)$. Аналогично, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -5]$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $(-\infty; -5]$ и $[-2; +\infty)$.

б) промежутки убывания функции $y = f(x)$

Функция $y = f(x)$ убывает на тех промежутках, где её производная $f'(x)$ отрицательна ($f'(x) < 0$). Из таблицы видно, что это происходит на интервале $(-5; -2)$.

Поскольку в точках $x=-5$ и $x=-2$ функция непрерывна (так как в них существует производная), промежуток убывания можно записать, включая концы.

Ответ: промежуток убывания функции: $[-5; -2]$.

в) точки максимума функции $y = f(x)$

Точки экстремума функции находятся среди её критических точек — точек, где производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Из таблицы следует, что $f'(x) = 0$ при $x = -5$, $x = -2$ и $x = 8$.

Точка максимума — это критическая точка, при переходе через которую производная меняет знак с «+» на «−».

Рассмотрим точку $x = -5$. Слева от неё (на интервале $(-\infty; -5)$) производная $f'(x)$ положительна, а справа (на интервале $(-5; -2)$) — отрицательна. Таким образом, $x = -5$ является точкой максимума.

Ответ: точка максимума: $x = -5$.

г) точки минимума функции $y = f(x)$

Точка минимума — это критическая точка, при переходе через которую производная $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+».

Рассмотрим критическую точку $x = -2$. Слева от неё (на интервале $(-5; -2)$) производная $f'(x)$ отрицательна, а справа (на интервале $(-2; 8)$) — положительна. Следовательно, $x = -2$ является точкой минимума.

В точке $x=8$ знак производной не меняется, поэтому она не является точкой экстремума.

Ответ: точка минимума: $x = -2$.